Mehrdimensionale Differentialrechnung

Hi,

bin noch Schüler und versuche aus Interesse die mehrdimensionale Differentialrechnung zu verstehen. Habe mal ein Beispiel durchgerechnet für zwei Veränderliche - könnt ihr mir sagen, ob das stimmt?

Wollte lediglich die Ableitung sowie die Tangente im Punkt (1,1) bestimmen.

f(x,y) = 2x^2 + 3y^3

Partiell:
f(x,y)dx = 4x
f(x,y)dy = 9y^2

Totales Differential:
f'(x,y) = 4x + 9y^2

Tangentialebene in (1,1)

t(x,y) = f(x,y)dx * (x - 1) + f(x,y)dy * (y - 1) + f(1,1)

t(x,y) = 4(x-1) + 9(y-1) + 5

Kann das sein?

Noch eine Frage zur Richtungsableitung: Scheinbar verwendet man als Verschiebungsvektor üblicherweise einen Vektor mit Länge 1, also ||v||=1. Wenn ich jetzt die Einheitsvektoren (1,0),(0,1) nehme, sind das natürlich genau die partiellen Ableitungen. Kann ich aber auch die Richtungsableitung berechnen, wenn ich von (1,1) nach (3,5) verschiebe? Wie kann ich die Richtungsableitung für mich kopfmäßig geometrisch interpretieren (es geht um max. zwei Veränderliche!) ?

Danke, der Mathe-b00n

lustig

Zur Richtungsableitung:
Deine Funktion f(x,y) ist eine Fläche im 3-dimensionalen Raum. Wenn du eine Funktion f(x) ableitest, berechnest du die Steigung der Funktion oder anders gesagt die Steigung der Tangenten.
Im 3D Raum gibt es nicht mehr eine einzelne Steigung, schliesslich hast du in jedem Punkt der Fläche eine Tangentialebene und nicht nur eine Gerade. Wenn du die Ebene berechnen willst, brauchst du also 2 Steigungen / Ableitungen (hast du ja auch berechnet). Normalerweise berechnet man dazu die Steigung in x und y richtung, das ist am einfachsten (Partielle Ableitung nach x / y).
Manchmal interessierst du dich aber nicht für die ganze Tangentialebene sondern möchtest nur wissen, wie die Steigung in einer bestimmten Richtung ist. Also z.B. wie ist die Steigung von f(x,y) im Punkt (1,1) in Richtung des (3,5) Vektors. Die Antwort darauf gibt dir die Richtungsableitung, der Vektor gibt die Richtung an, in der die Steigung berechnet wird (und nicht eine Verschiebung).
Damit du das Resultat nicht verzerrst, musst du den Vektor normieren (Sonst hättest du unterschiedliche Resultate für die Steigung in (1,0) Richtung und die Steigung in (10,0) Richtung).

Ich habe mal versucht das ganze anschaulich und so wenig mathematisch wie möglich zu erklären. Hoffentlich ist das Konzept der Richtungsableitung etwas klarer geworden und wie man die interpretieren kann.

lustig schrieb:

Damit du das Resultat nicht verzerrst, musst du den Vektor normieren (Sonst hättest du unterschiedliche Resultate für die Steigung in (1,0) Richtung und die Steigung in (10,0) Richtung).

Danke, für deine einsteigerfreundliche Erklärung!
Was genau heißt nun, normieren? Berechnet man da was oder vereinbart man nun einfach, (1,0) statt (10,0) zu nehmen?

lustig

Man vereinbart immer einen Vektor der Länge eins zu nehmen. Also z.B. wenn du die Richtungsableitung in (3,4)-Richtung berechnen willst normierst du den Vektor zuerst. Länge von (3,4):

$|(3,4)|=\sqrt{3^2+4^2}=5$

also nimmst du (3/5,4/5), weil dieser Vektor Länge eins hat.

Genau gleich für (10,0). Dieser Vektor hat Länge 10, also dividierst du zuerst durch die Länge 1/10*(10,0)=(1,0).

Das klingt einleuchtend. Habe mich nun auch in die algebraische Definition einer Norm eingelesen. Du hast hier scheinbar die euklidische Norm verwendet.

Das ist ja alles ziemlich spannend. Allerdings rall ich noch nicht, wie ich nun diese Richtungsableitung konkret berechnen würde. Multipliziere ich die Summe der partiellen Ableitungen nun mit dem Verschiebungsvektor?

Sorry, dass ich so viele Fragen stell

Walli

Nein, Du berechnest hier einfach in Deinem Fall den Gradienten, also den Vektor (d/dx,d/dy)(f), und machst das Skalarprodukt mit Deinem normierten Richtungsvektor v=(v1,v2), ergibt dann v1*df/dx+v2*df/dy.

edit: ups, hatte nicht gesehen, dass es um 2d geht. Naja, in 3d geht's dann analog. Allgemeiner erklärts dann der Wikipedia-Artikel, wobei ich den didaktisch nicht für besonders gelungen halte.

Müsste ich aber als Ergebnis nicht einen Steigungswert, also einen Skalar erhalten?

Walli

Ja, den liefert Dir ja das Skalarprodukt.

OK, jetzt peil ich oberflächlich gesehen einigermaßen durch. Danke für eure Hilfe

lustig

lol123 schrieb:

Habe mich nun auch in die algebraische Definition einer Norm eingelesen. Du hast hier scheinbar die euklidische Norm verwendet.

Kurzer Kommentar dazu: Es macht wenig Sinn, wenn du dir die Definition von Normen anschaust und es ist auch nicht wirklich nötig für die Richtungsableitungen. Der Richtungsvektor ist normalerweise ein Einheitsvektor, d.h. er hat die Länge eins. Die Länge des 2D-Vektors berechnest du so, wie du die Länge einer Strecke immer berechnest. Du hast ein rechtwinkliges Dreieck, die eine Kathete ist x die andere y. Die Länge des Vektors ist die Wurzel aus x^2+y2.
Statt ausrechnen könntest du das auch aufzeichnen und nachmessen. Das mit der Norm (bzw. dass es noch andere Möglichkeiten gibt, die "Länge" eines Vektors zu definieren) kannst du getrost ignorieren. Da steckt noch einiges mehr dahinter, als du vermutlich im Moment denkst.
Wenn du mehr über Richtungsableitungen etc. lernen willst, kaufst du dir am besten ein Buch. Zu dem Thema (das ist so ~Letztes Jahr Gymnasium / 1stes Semester Studium) gibt es viele Bücher, die so gut wie keine Vorkenntnisse erfordern. Dir das ganze im Internet zusammen zusuchen wird schwierig... ein paar Formeln auf Wikipedia können eine gute Erklärung in einem Buch nicht ersetzen.

Grossmeister

lol123 schrieb:

f(x,y) = 2x^2 + 3y^3

Partiell:
f(x,y)dx = 4x
f(x,y)dy = 9y^2

Totales Differential:
f'(x,y) = 4x + 9y^2

Nicht ganz, das Totale Differential von f ist

df = 4x dx + 9y^2 dy,

was auch als zweidimensionaler Vektor mit den partiellen Ableitungen als Komponenten darstellbar ist.