Pauli: Identische Aussagen
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Hallo zusammen,
sind das zwei äquivalente Aussagen?
1.) In jedes Energieniveau treten höchstens zwei Elektronen ein.
2.) In einem Atom befindet sich höchstens ein Elektron in einem durch vier Quantenzahlen bestimmten Zustand. Zwei Elektronen können deshalb nicht in allen vier Quantenzahlen n,l,m und s übereinstimmen.
Danke
freakC++
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Nein. Die zweite Aussage sagt nichts über die Energien die zu den Quantenzahlen n,l,m und s gehören. Die Aussage, dass jeweils zwei dieser Energieniveaus entartet seien folgt nicht daraus (und ist bei realen Atomen auch falsch).
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Beide Sätze stehen in zwei verschiedenen Schulbüchern als Erklärung des Pauli Prinzips und ich habe nicht den Zusammenhang verstanden. Aber wenn sie sowieso nicht identisch sind, dann ist es ja alles gut
lg, freakC++
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Nimm die zweite Erklärung: Zwei Elektronen können nicht in allen ihren Quantenzahlen übereinstimmen.
Der erste Satz folgt daraus dann und nur dann, wenn jeweils genau zwei Kombinationen dieser Quantenzahlen die gleiche Energie haben. Dies ist beim untersten Energieniveau eines Wasserstoffatoms so, denn die Energie hängt dort nur von der Quantenzahl n ab und man hat dann jeweils nur eine Möglichkeit für l und m und zwei Möglichkeiten für s. Deshalb gibt es im Wasserstoffatom für n=1 jeweils zwei mögliche Zustände mit gleicher Energie und in beiden kann jeweils ein Elektron sein.
Bei höheren n hat man dann aber mehr Möglichkeiten für l und m und daher viel mehr Zustände mit gleicher Energie (da die Energie nur von n abhängt), die auch jeweils alle ein Elektron aufnehmen können.
Und bei Nicht-Wasserstoffsystemen ist es sowieso wieder ganz anders, weil die Energien auch für unterschiedliche l, m, nicht mehr gleich sind. Dann hat man wiederum noch jeweils zwei Möglichkeiten für s und hat daher wieder zwei mögliche Elektronenzustände pro Energieniveau. Hierher kommt auch die Formulierung im ersten Schulbuch.
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SeppJ schrieb:
Nimm die zweite Erklärung: Zwei Elektronen können nicht in allen ihren Quantenzahlen übereinstimmen.
Mal eine ganz naive Frage (die ich vermutlich selbst beantworten können müsste): Elektronen sind Fermionen und das heißt, dass sie dem Pauli-Prinzip unterliegen. Bosonen unterliegen diesem Prinzip aber nicht. Jetzt gibt es aber Teilchen und Quasiteilchen, die Bosonen sind, aber unter anderem aus mehreren Fermionen aufgebaut sind. Nehmen wir in diesem Zusammenhang mal Cooper-Paare als Quasiteilchen, die aus 2 Elektronen und einem Phonon aufgebaut sind. Wenn man sich die Spins anguckt, dann ergibt sich natürlich für das Gesamtquasiteilchen ein ganzzahliger Spin, also ist es ein Boson. Aber wie kann es sein, dass man aus Fermionen Bosonen aufbauen kann? Mehrere dieser Quasiteilchen können also in allen Quantenzahlen übereinstimmen, ihre Bestandteile aber nicht?
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das ist etwas ganz anderes. dass fermionen nicht in allen quantenzahlen übereinstimmen können hat nichts mit dem aufbau von materie zu tun. ein proton ist auch ein fermion. und ein elektron (fermion) und ein proton (fermion) gibt auch ein wasserstoff atom (boson)
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Fermion/Boson ist so weit ich weiß (bin kein Elementarteilchenphysiker) keine elementare Eigenschaft der Materie, sondern eine Frage der Symmetrie der Wellenfunktion die ein Teilchen beschreibt. Bei Fermionen ist diese antisymmetrisch gegenüber Vertauschung zweier unterschiedlicher Teilchen und bei Bosonen symmetrisch. Daraus kann man für Fermionen das Pauli-Prinzip herleiten (war ziemlich einfach, wenn ich meinen QM-Ordner bereit liegen hätte könnte ich es hier in drei Zeilen beweisen. Da ich ihn gerade nicht hier habe, verweise ich auf eine Netzsuche). Das schließt aber nicht aus, dass wenn man zwei Fermionen auf die richtige Weise kombiniert, dass man für die Gesamtwellenfunktion etwas symmetrisches bekommt. Dann können mehrere solcher Verbundteilchen in ihren Quantenzahlen übereinstimmen.
Umgekehrt kann man symmetrische Funktionen niemals so kombinieren, dass eine antisymmetrische Funktion herauskommt, das heißt man kann keine Fermionen aus reinen Bosonensystemen zusammensetzen.
Die Quantenzahlen dieser zusammengesetzten Teilchen sind natürlich ganz andere als die der Unterteilchen und beschreiben größere Zusammenhänge. Wenn man nahe genug ran geht, so dass die Feinstruktur dieser zusammengesetzen Teilchen eine Rolle spielt, dann gilt auch wieder das Pauli-Prinzip für die Komponenten und die Quantenzahlen die deren Wechselwirkung im kleinen beschreiben.
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SeppJ schrieb:
Fermion/Boson ist so weit ich weiß (bin kein Elementarteilchenphysiker) keine elementare Eigenschaft der Materie, sondern eine Frage der Symmetrie der Wellenfunktion die ein Teilchen beschreibt. Bei Fermionen ist diese antisymmetrisch gegenüber Vertauschung zweier unterschiedlicher Teilchen und bei Bosonen symmetrisch. Daraus kann man für Fermionen das Pauli-Prinzip herleiten (war ziemlich einfach, wenn ich meinen QM-Ordner bereit liegen hätte könnte ich es hier in drei Zeilen beweisen. Da ich ihn gerade nicht hier habe, verweise ich auf eine Netzsuche). Das schließt aber nicht aus, dass wenn man zwei Fermionen auf die richtige Weise kombiniert, dass man für die Gesamtwellenfunktion etwas symmetrisches bekommt. Dann können mehrere solcher Verbundteilchen in ihren Quantenzahlen übereinstimmen.
Umgekehrt kann man symmetrische Funktionen niemals so kombinieren, dass eine antisymmetrische Funktion herauskommt, das heißt man kann keine Fermionen aus reinen Bosonensystemen zusammensetzen.
Die Quantenzahlen dieser zusammengesetzten Teilchen sind natürlich ganz andere als die der Unterteilchen und beschreiben größere Zusammenhänge. Wenn man nahe genug ran geht, so dass die Feinstruktur dieser zusammengesetzen Teilchen eine Rolle spielt, dann gilt auch wieder das Pauli-Prinzip für die Komponenten und die Quantenzahlen die deren Wechselwirkung im kleinen beschreiben.Ok, dann muss man derartige Teilchen also praktisch durch eine Vielteilchenwellenfunktion beschreiben. Man hat nicht mehr einzelne Wellenfunktionen Psi_i(r,sigma), sondern zum Beispiel im Fall von Cooper-Paaren eine Wellenfunktion Psi(r_1,r_2,r_3,sigma_1,sigma_2). Ich glaube, das kann ich nachvollziehen. Man kann dann einfach nicht mehr für die Bestandteile ins Einteilchenbild zurückgehen.
Ich dachte immer, die Schlussfolgerung wäre andersherum. Nicht "Da wir eine antisymmetrische Wellenfunktion haben, handelt es sich um ein Fermion", sondern "Da wir ein Fermion haben, müssen wir es durch eine antisymmetrische Wellenfunktion beschreiben". Ich muss das nochmal nachlesen.
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Gregor schrieb:
Ich dachte immer, die Schlussfolgerung wäre andersherum. Nicht "Da wir eine antisymmetrische Wellenfunktion haben, handelt es sich um ein Fermion", sondern "Da wir ein Fermion haben, müssen wir es durch eine antisymmetrische Wellenfunktion beschreiben". Ich muss das nochmal nachlesen.
Oh, da sprichst du einen guten Punkt an. Ich möchte nicht ausschließen, dass ich das falsch gemacht habe.
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SeppJ schrieb:
Gregor schrieb:
Ich dachte immer, die Schlussfolgerung wäre andersherum. Nicht "Da wir eine antisymmetrische Wellenfunktion haben, handelt es sich um ein Fermion", sondern "Da wir ein Fermion haben, müssen wir es durch eine antisymmetrische Wellenfunktion beschreiben". Ich muss das nochmal nachlesen.
Oh, da sprichst du einen guten Punkt an. Ich möchte nicht ausschließen, dass ich das falsch gemacht habe.
Naja, ich denke gerade in Slaterdeterminanten. Da wird das so gemacht. Man hat eine Produktwellenfunktion und da man Fermionen hat, antisymmetrisiert man die über diese Determinante. Aber das ist natürlich nur eine Näherung, in die man die wichtige Physik reinsteckt. Das muss nichts über die eigentliche Argumentationsrichtung aussagen.
