Residuenberechnung
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Hallo,
ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest, wo man die Residuen einer Funktion f an ihren Polstellen berechnen soll. Die Funktion f ist dabei gegeben durch
Man sieht direkt, dass die Funktion die doppelten Polstellen +i und -i hat. Um die Residuen dann einfach berechnen zu können (zB mit diesen Regeln hier) muss man die Funktion ja ersteinmal in eine Laurent-Reihe entwickeln. Bei Polynomen geht das ja mittels einer Partialbruchzerlegung. Daran scheitere ich allerdings gerade. Laut Wikipedia (Partialbruchzerlegung, 3. Beispiel) schreibt man komplexe Nullstellen nicht als Linearfaktoren sondern als quadratisches Polynom. Damit wäre die obige Funktion (linke Seite) ja schon die Partialbruchzerlegung.
Ich möchte aber Brüche der Form 1/(z-i)^m und 1/(z+i), also eher so wie rechts. In der Vorlesung kam man glaube ich anders auf die Reihendarstellung, nur leider weiß ich nicht mehr wie
Kann mir jemand weiterhelfen?
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Ohne die Laurent-Reihe ginge das auch über den Ausdruck
\[\operatorname{res}\_a f = \frac{1}{\left(n-1\right)!}\lim\limits\_{z\rightarrow a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}\big[(z-a)^nf(z)\big]\]
für Polstellen n-ter Ordnung.
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Besten Dank!
Im weiteren Verlauf der Aufgabe soll man jetzt ein reelles Integral mit Hilfe eines komplexen lösen. Sehe ich das richtig, dass man da immer nach dem Muster vorgehen muss:
- Zwei Parametriesierungen finden, so dass man ein einen geschlossenen Weg in der komplexen Ebene erhält. Dabei verläuft die eine Kurve entlang der reellen Achse, die andere ist ein Kreisbogen oberhalb (ist das wichtig?) der reellen Achse
- x substituieren, zB mit e^(iy)
- Kurvenintegral über den Weg C1 + C2 aufstellen und zeigen, dass der Teil des Integrals, der im komplexen verläuft, beim Grenzübergang vernachlässigt werden kann. D.h. das Integral über den Weg C1 + C2 ist gleich dem Integral über den Weg C1 => Man kann den Residuensatz anwenden
- Komplexes Kurvenintegral mittels Residuensatz berechnen
Ist das richtig soweit? Wäre nett, wenn das jemand bestätigen könnte
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Das dürften genau die richtigen Schritte sein.
Du kannst den Weg auch unterhalb der reellen Achse schließen, dann integrierst du aber in "negative" Richtung (im Uhrzeigersinn). Der Wert des Integrals ist dann$$-2\pi i \sum \text{res} f\quad$$(Summe über die Residuen in der unteren Halbebene).