4. Position eines Punktes im KOR berechnen

Position eines Punktes im KOR berechnen

  • N

    Hallo zusammen.
    Ich suche eine Rechnerische Lösung für das folgende Problem:
    Ich hbe 4 Punkte in einem Koordinatensystem, z.B. A;B;C und D.
    Ich kenne die Koordinaten von den Punkten A,B und C, ich suche die von Punkt D.
    Außerdem weiß ich, wie weit der PunktD von jeweilsd Punk a,b und c entfrnt ist.
    Zeichnerisch ist diese Sache ja recht einfach zu lösen: Man zeichnet die Punkte A,B,C und zeichnet um diese wieder jehwelseinen Kreis, wessen Radius jehweils der Entfernung des Punktes zu Punkt D entspricht. Da wo sich alle 3 Kreise schneiden, liegt PunktD. Aber ie kann ich das Rechnerisch lösen, wenn dies überhaupt möglich ist?
    Ich hoffe mir kann jemand helfen.

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  • Mod

    Du stellst Gleichungen für die Kreise auf (ein Kreis zeichnet sich dadurch aus, dass alle seine Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben) und setzt diese gleich. Eine Kreisgleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt (mx,my) und Radius R sieht z.B. so aus:
    (x-mx)2+(y-my)2=R^2

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  • V

    Nur mit Abstandsgleichung wird's ein wenig nervig. Möchte ich per Hand nicht machen. Vielleicht gehts mit Computeralgebrasystem ganz leicht von der Hand?

    Sei dad der Abstand von A und D.
    (Dx-Ax)²+(Dy-Ay)²=dad²
    Sei dbd der Abstand von B und D
    (Dx-Bx)²+(Dy-By)²=dbd²

    Jetzt haben wir zwei Unbekannte Dx und Dy und zwei Gleichungen. Mal sehen...
    (Dx-Ax)²+(Dy-Ay)²=dad²
    (2. binomische Formel und dad² rüberziehen)
    Dx²-2DxAx+Ax²+Dy²-2DyAy+Ay²-dad²=0
    (mhh, mal Dx jagen)
    Dx²+(-2Ax)*Dx+(Ax²+Dy²-2DyAy+Ay²-dad²)=0
    (pq-Formel mit p=(-2Ax) und q=(Ax²+...))
    Dx1=-(-2Ax)/2-sqrt(((-2Ax)/2)²-(Ax²+Dy²-2DyAy+Ay²-dad²))
    Dx2=-(-2Ax)/2+sqrt(((-2Ax)/2)²-(Ax²+Dy²-2DyAy+Ay²-dad²))
    (Und diese Kacke in die andere Gleichung einsetzen...)
    (Nachher auch für Dx2 machen)
    (Dx-Bx)²+(Dy-By)²=dbd²
    (-(-2Ax)/2-sqrt(((-2Ax)/2)²-(Ax²+Dy²-2DyAy+Ay²-dad²))-Bx)²+(Dy-By)²=dbd²
    (Wieder 2. Binomische Formel)
    //keine Lust
    (Wurzel alleinstellen)
    //keine Lust
    (beide Seiten quadrieren)
    //keine Lust
    (Dy jagen)
    //keine List
    (pq-Formel)
    //keine Lust
    (Die beiden Dy nehmen und in die Dx-Formel stecken.)
    Es sollten zwei Punkte rauskommen, die die Abstandsgleichungen erfüllen.
    Mit C und dem Abstand zu C den richtigen auswählen.

    Nochmal anfangen und jetzt nur einbuchstabige Variablennamen nehmen, dann kann Wolfram Alpha zuschlagen und Gleichungen lösen (Beispeil)

    DAS IST NICHT HÜBSCH!

    Andere Idee mit viel Pythagoras und wenig Vektorrechnung:
    Dreieck ABD malen. Ist rechtwinklig (hoffe ich).
    Da die Abstände AB, AD und BD bekannt sind, kann man beide Flächenformeln
    F=ADDB/2
    und
    F=AB    h/2
    gleichsetzen und h=ADDB/AB
    L sei der Lotfußpunkt von D auf AB.
    AL kann man mit dem rechtwinkligen Dreieck ADL ausrechnen.
    L=A+AL/AB    (B-A)
    und von L aus gehe ich rechtwinklig zu AB um h weit nach beiden Richtungen.
    Dazu suche ich den Vektor N, der senkrecht auf AB(foo,bar) steht, er ist (-bar,foo).
    Den teile ich durch seine eigene Länge und multipliziere ihn mit h und nenne ihn V.
    Und dann sind die beiden Schnittpunkte S1=L+V und S2=L-V.

    Jo, das gefällt mir.

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  • N

    In menem fall kann es aber auxch vorkommen, dass ich kein rechtwinkliges Dreieck zeichnen kann. Außerdem übernimmt die Rechenarbeit ja derPC für mich 🙂 .

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  • V

    NikSg schrieb:

    In menem fall kann es aber auxch vorkommen, dass ich kein rechtwinkliges Dreieck zeichnen kann. Außerdem übernimmt die Rechenarbeit ja derPC für mich 🙂 .

    Mal mal so einen Fall, wo kein rechtwinkliges Dreieck geht.
    Ist das nicht nur, wenn D schon auf AB liegt? Dann S=D.

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  • S

    Wenn ich das richtig verstanden habe, ist der gesuchte Punkt der Umkreismittelpunkt der drei Punkte A, B und C.

    Hier unter "Wie berechnet man den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks?" steht, was rauskommt:
    http://delphi.zsg-rottenburg.de/faqmath4.html

    Edit: Oh, sorry, stimmt nicht. Ich bin davon ausgegangen, dass der Punkt D zu den Anderen jeweils die Selbe Entfernung hat. Muss aber nicht so sein, wenn ich das nochmal so durchlese...

    Edit 2: Nächster Versuch 😃 Vielleicht nicht die eleganteste Lösung aber man muss keine Kreisgleichungen gleichsetzen:
    (A, B, C sind die Punkte, a, b, c deren Abstände zu D)
    http://www.bilder-hochladen.net/files/2s0n-2.jpg

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