Formel herleiten zum Flaecheninhalt eines Dreiecks (Vektoren)
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Hallo,
wie kommt man von
\frac{1}{2}\sqrt{\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}\vert\overrightarrow{AC}\vert^{2}-(\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos{a})^{2}}auf
\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}\vert\overrightarrow{AC}\vert^{2}\sqrt{(1-\cos{a})^{2}}?
Quelle ist uebrigens: http://matheraum.de/forum/Formel_Flaecheninhalt_Dreieck/t132284 (letzter Post)
Dort steht nur als Beschreibung: "Da ja nun AB und AC sowohl in als auch vor den Klammern sind kann man das ganze ja direkt aus der Wurzel 'herausnehmen'"
Warum ist das so?Es geht um die Herleitung der dort beschriebenen Formel.
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Kann man nicht, aber so sollte es stimmen:
\frac{1}{2}\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\sqrt{1-(\cos{a})^{2}}Mario
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Ich versuchs mal:
1/2 * sqrt( |AB|^2 * |AC| - (|AB| * |AC| * cosa)^2 ) = { Die Beträge |.| sind Skalare ==> du kannst jeden Faktor hoch 2 rechnen. }
= 1/2 * sqrt( |AB|^2 * |AC|^2 - |AB|^2 * |AC|^2 * cos(a)^2 ) = {|AB|^2 und |AC|^2 ausklammern}
= 1/2 * sqrt( |AB|^2 * |AC|^2 * ( 1 - cos(a)^2 ) ) = { Da du jetzt in der Wurzel ein Produkt hast, darfst du von jedem Faktor einzeln die Wurzel ziehe }
= 1/2 * |AB| * |AC| * sqrt( 1 - cos(a)^2 )PS:
Sry, das ganze sieht extrem hässlich aus aber ich hatte keine Zeit für Latex. Schreibs halt am besten mal auf Papier ab, dann siehst du was ich meine. Hoffe die Kommentare, die ich in den {} geschrieben habe sind verständlich.
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Der wohl einfachste Weg um die Fläche eines Dreiecks im R³ zu berechnen ist über die Länge des Kreuzproduktes der Kantenvektoren:
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Vielen Dank fuer die schnelle Hilfe!
Ich habe es jetzt geschafft, die Formel vollstaendig herzuleiten.
Das Kreuzprodukt sieht auch sehr interessant aus, haben wir bisher allerdings noch nicht im Unterricht behandelt. Trotzdem danke fuer den Hinweis.
