Frage zu Kreuzprodukt von Vektoren in C
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Hallo, ist das Kreuzprodukt von Vektoren mit komplexen Elementen definiert?
Im R^n würde man das ganze ja mit einer Matrix lösen, aber dafür braucht man ja die kanonischen Einheitsvektoren. Gibt es da ein Gegenstück bei den Komplexen Zahlen? Dabei soll als Ergebnis ein Vektor herauskommen (die Beziehung a x b = ||a||*||b||*sin(w) kenne ich, bringt mir aber grad nix
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Wofür brauchst du das? Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist eben ein Vektor sodass das Skalarprodukt des Ergebnisvektors mit den beiden Ausgangsvektoren jeweils 0 ergibt. Ich vermute mal dass man in der Formel für den R³ noch an ein paar Stellen wird konjugieren müssen damit sie im C³ funktioniert, mehr kann ich dazu jetzt auf die Schnelle nichts sagen da ich ein Kreuzprodukt im C³ weder jemals gebrauch noch gesehen hätte...
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Ich implementiere gerade zur Übung eine vector-Klasse in c++. Und da wollte ich eine spezialisierung für vektoren mit komplexen elementen schreiben. Und aus Gründen der Konsistenz wollte ich dann auch das Kreuzprodukt für diese Spezialisierung anbieten. Dass das aus rein geometrischen Gründen schwachsinn ist, ist mir klar. Aber vielleicht ist es ja trotzdem rein mathematisch für den C^n definiert...
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Ich bin mir sicher dass es sich rein mathematisch definieren lässt. Ist aber vermutlich verschwendete Zeit...
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Das Kreuzprodukt ist ja nicht für jede Dimension definiert. Im |R^3 und danach erst wieder für |R^7 (?). Das Kreuzprodukt ist ja eine Spezialisierung des Wedge-Produkts. Das ganze liefert eigentlich einen Tensor. Im |R^3 hat der Tensor aber nur 3 Elemente und man kann ihn wieder in die Vektorschreibweise zwingen. Aber den unterschied sieht man im Transformationsverhalten. Wenn du zwei Vektoren a und b hast und c = a x b definiert ist. Dann siehst du, dass sich c bei ändern des Drehsinns anders transformiert als a und b.
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dot schrieb:
Ich bin mir sicher dass es sich rein mathematisch definieren lässt. Ist aber vermutlich verschwendete Zeit...
Ich benutze das ständig. Anwendungsbeispiel:
Harmonisch osszilierende Kraft $$\vec{F}\cos(\omega t) = \Re( \underline{\vec{F}} e^{i \omega t} ) $$ Der Unterstrich soll komplexe Zahlen anzeigen. Wenn ich jetzt damit reche und die Welt ganz linear und harmonisch ist, schmeiße ich die Zeit weg und rechne nur noch mit der komplexen Amplitude $$\underline{\vec{F}}$$ Wenn ich jetzt ein aus der Kraft resultierendes (ebenfalls harmonische) Moment ausrechnen will, bekomme ich den Ausdruck $$\underline{\vec{M}} = \vec{r} \times \underline{\vec{F}} = \left( r_2\underline{f}_3 - \underline{f}_2r_3, r_3\underline{f}_1 - \underline{f}_3r_1, r_1\underline{f}_2 - \underline{f}_1r_2\right)^T$$ Aber da habe ich Glück: Nur ein Vektor ist komplex. Und konjugieren muss ich nix, damit das richtige rauskommt. Wenn beide komplex wären, müsste ich nachdenken. Ist mir aber noch nicht passiert, weil dann meine Welt nicht mehr linear und harmonisch genug für mich wäre. Darüber müssen klügere Leute als ich nachdenken.
