4. Lösung einer Differentialgleichung nicht verstanden

Lösung einer Differentialgleichung nicht verstanden

  • S

    Folgenden Rechenweg verstehe ich nicht:

    \[\begin{gathered} \ddot y + \frac{4} {t}\dot y = 0,\quad \quad 0 < t \leqslant 1 \hfill \\ \quad \Rightarrow \quad \dot z + \frac{4} {t}z = 0 \hfill \\ \quad \Rightarrow \quad z\left( t \right) = c{e^{ - \int {\frac{4} {t}dt} }} = c{e^{ - 4\ln t}} = c{e^{\ln {t^{ - 4}}}} = \frac{c} {{{t^4}}},\quad \quad c \in \mathbb{R} \hfill \\ \quad \Rightarrow \quad \dot y\left( t \right) = \frac{c} {{{t^4}}}\quad \Rightarrow \quad y\left( t \right) = - \frac{c} {{3{t^3}}} + d,\quad \quad c,d \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered}\]

    Problem ist die dritte Zeile. Wie kommt man da auf das Integral im Exponenten?

    0
  • K

    Beginnen wir doch mal bei Zeile 2:

    z˙=−4tz⇒z˙z=−4t\dot{z} = - \frac{4}{t} z \Rightarrow \frac{\dot{z}}{z} = - \frac{4}{t}

    Dann auf beiden Seiten nach t integrieren.

    lnz=−∫4tdt+C\ln{z} = -\int \frac{4}{t} dt + C

    Und dann den ln mit e aufloesen

    elnz=e−∫4tdt+Ce^{\ln{z}} = e^{-\int \frac{4}{t} dt + C}

    0
  • S

    Ah wunderbar, danke für die schnelle Antwort 🙂

    0
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