Ritz-Verfahren für Variationsprobleme ohne Nebenbedingung
-
Ich lese gerade folgendes:
Sei A:X->X ein selbstadjungierter Operator im Hilbertraum X mit innerem Produkt <.,.>. Dann ist a(u,v):=<Au,v> eine symmetrische Bilinearform. Die Operatorgleichung Au=f oder <Au,v>=<f,v> für alle v in X ist äquivalent zu:
Finde den Minimierer des Funktionals J(v)=0.5a(v,v)-<f,v>
Warum ist das so? Ich hätte ja erwartet, dass man, um <Au,v>=<f,v> zu lösen, versucht, J(u)=<Au,v>-<f,v> zu minimieren. Warum steht da v statt u? v ist doch die Testfunktion. Und woher kommt das 0.5?
-
Naja, wenn Du die erste Variation des Funktionals gleich null setzt, kommt da eben genau Dein Variationsproblem a(u,v)=<f,v> als Optimalitätsbedingung raus. Und dann kannst Du recht einfach zeigen, dass es ein Minimum ist.
Mal was ausführlicher:
snOOfy schrieb:
Und woher kommt das 0.5?
Du willst ein Minimum von J(u)=0.5a(u,u)-<f,u> finden:
* Die erste Variation ist der lim t->0 (J(u+tv)-J(u))/t.
* Durch Einsetzen findet man J(u+tv) = J(u) + t(a(u,v)-<f,v>) + 0.5t^2 a(v,v).
* lim t->0 (J(u+tv)-J(u))/t ist also genau a(u,v)-<f,v>.
* Notwendige Bedingung für ein Minimum ist also a(u,v)=<f,v>.
* Um zu zeigen, dass es auch wirklich ein Minimum ist, schauen wir uns nochmal J(u+v) für irgendein v an.
* Das ergibt J(u+v) = J(u) + (a(u,v)-<f,v>) + 0.5a(v,v).
* Der zweite Term verschwindet und durch die Symmetrie ist der dritte Term positiv, also haben wir ein Minimum gefunden.snOOfy schrieb:
Warum steht da v statt u? v ist doch die Testfunktion.
Du kannst auch J(foo) schreiben und den Minimierer bar nennen.
-
Ah, vielen Dank
War ich nicht drauf gekommen, die erste Variation wirklich auszurechnen. Damit ist das Problem gelöst.