Ritz-Verfahren für Variationsprobleme ohne Nebenbedingung



  • Ich lese gerade folgendes:

    Sei A:X->X ein selbstadjungierter Operator im Hilbertraum X mit innerem Produkt <.,.>. Dann ist a(u,v):=<Au,v> eine symmetrische Bilinearform. Die Operatorgleichung Au=f oder <Au,v>=<f,v> für alle v in X ist äquivalent zu:

    Finde den Minimierer des Funktionals J(v)=0.5a(v,v)-<f,v>

    Warum ist das so? Ich hätte ja erwartet, dass man, um <Au,v>=<f,v> zu lösen, versucht, J(u)=<Au,v>-<f,v> zu minimieren. Warum steht da v statt u? v ist doch die Testfunktion. Und woher kommt das 0.5? 😕



  • Naja, wenn Du die erste Variation des Funktionals gleich null setzt, kommt da eben genau Dein Variationsproblem a(u,v)=<f,v> als Optimalitätsbedingung raus. Und dann kannst Du recht einfach zeigen, dass es ein Minimum ist.

    Mal was ausführlicher:

    snOOfy schrieb:

    Und woher kommt das 0.5? 😕

    Du willst ein Minimum von J(u)=0.5a(u,u)-<f,u> finden:

    * Die erste Variation ist der lim t->0 (J(u+tv)-J(u))/t.
    * Durch Einsetzen findet man J(u+tv) = J(u) + t(a(u,v)-<f,v>) + 0.5t^2 a(v,v).
    * lim t->0 (J(u+tv)-J(u))/t ist also genau a(u,v)-<f,v>.
    * Notwendige Bedingung für ein Minimum ist also a(u,v)=<f,v>.
    * Um zu zeigen, dass es auch wirklich ein Minimum ist, schauen wir uns nochmal J(u+v) für irgendein v an.
    * Das ergibt J(u+v) = J(u) + (a(u,v)-<f,v>) + 0.5
    a(v,v).
    * Der zweite Term verschwindet und durch die Symmetrie ist der dritte Term positiv, also haben wir ein Minimum gefunden.

    snOOfy schrieb:

    Warum steht da v statt u? v ist doch die Testfunktion.

    Du kannst auch J(foo) schreiben und den Minimierer bar nennen.



  • Ah, vielen Dank 🙂
    War ich nicht drauf gekommen, die erste Variation wirklich auszurechnen. Damit ist das Problem gelöst.


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