stetigkeit
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in dem schritt hab ich geprüft, ob die II (zweite) funktion stetig ist und da diese nicht für 2 definiert ist, ist auch das ergebnis nicht definiert, oder sehe ich das falsch?
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f ist in 2 definiert weil f(2)=2^2-3=1.
das Ding ist aber nicht stetig in 2, weil der rechtsseitige Grenzwert 4-2=2 ist, der linksseitige 2^2-3=1 und 1 != 2.
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Gucky schrieb:
in dem schritt hab ich geprüft, ob die II (zweite) funktion stetig ist und da diese nicht für 2 definiert ist, ist auch das ergebnis nicht definiert, oder sehe ich das falsch?
Siehst du falsch. Zwar ist 2 nicht definiert, aber schon 2,0000000000001 ist definiert. stetigkeit besagt nun, dass eine unglaublich kleine Änderung also (2->2,00000...01) das Funktionsergebnis auch nur unglaublich wenig verändern darf. Dies ist bei der Funktion nicht erfüllt, da es zwischen 2 und 2+fitzelchen sofort einen großen Wertesprung gibt, egal wie klein du das "fitzelchen" wälst.
zum Beispiel ist folgende Funktion stetig:
x² - 3 , x <= 2 f(x) = 3 - x , x > 2
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f(2) IST definiert, man beachte das größer gleich
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Gucky schrieb:
in dem schritt hab ich geprüft, ob die II (zweite) funktion stetig ist und da diese nicht für 2 definiert ist, ist auch das ergebnis nicht definiert, oder sehe ich das falsch?
Wie gesagt ist die Funktion bei x=2 definiert.
Polynome sind stetig. Deshalb sind beide Teilausdrücke auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig. Alles was Du noch untersuchen musst, ist die Stetigkeit bei x=2. Dazu betrachtest Du den links- und den rechtsseitigen Grenzwert. Den rechtsseitigen kannst Du Dir in dem Fall schenken (warum?). Der linksseitige lim (3-x) für x->2 ist trivialerweise gleich 1. Und f(2) = 2^2-3 = 1 ebenfalls. Damit ist die Funktion stetig.
Stetigkeit anschaulich: Der Graph darf keine Sprünge machen. Wenn er zusätzlich "glatt" sein soll und keinen "Knick" enthalten darf, kommt Differenzierbarkeit ins Spiel.
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µ schrieb:
Stetigkeit anschaulich: Der Graph darf keine Sprünge machen.
x |-> sin(1/x) für x!=0, 0 für x=0: stetig oder nicht?
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Bashar schrieb:
µ schrieb:
Stetigkeit anschaulich: Der Graph darf keine Sprünge machen.
x |-> sin(1/x) für x!=0, 0 für x=0: stetig oder nicht?
Anschaulichkeit hat natürlich immer seine Grenzen. Um aber mit dem Konzept warm zu werden, sollte man schon eine Art Anschauung verwenden.
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Klar, aber man sollte auch immer die Grenzen der Anschauung kennen.
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Mir war eigentlich klar, dass jemand sin(1/x) aus der Mottenkiste packt. Muss ich in Zukunft einen Roman dazu schreiben, wenn ich eine Anschauung bringe?
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Jep.
Dass Stetigkeit "kein Sprung" heißt, ist so ungefähr die Schuldefinition. Warum kaut man das im Studium nochmal durch, wenn es damit schon getan ist? Weil es ein sehr wichtiger Begriff ist, ohne Frage, aber auch, weil man an etwas, das man eigentlich schon zu kennen meint, präzises mathematisches Argumentieren lernen kann, und diese Gelegenheit sollte man (in dem Fall der OP) auch nutzen.
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- Man nehme eine Definition von Stetigkeit, z.B. das Epsilon-Delta-Kriterium.
- Man stelle fest, dass es bei f für Epsilon=1/2 an der Stelle 2 kein passendes Delta gibt.
- Man schließe daraus, dass f in 2 nicht stetig ist.