Ist 1 eine Primzahl

Hallo Forum,

ich hatte gerade mit einem Freund diskutiert, ob 1 eine Primzahl ist.
Eigentlich schon, aber er meint die Mathematiker streiten sich darüber?

Warum denn? Wie sieht es nun aus?

SG1

Mathematiker streiten sich nicht, Mathematiker definieren, dass 1 keine Primzahl ist. Macht ja anders auch keinen Sinn.

http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl#Warum_ist_die_Zahl_1_keine_Primzahl.3F

volkard

Primzahl schrieb:

Hallo Forum,

ich hatte gerade mit einem Freund diskutiert, ob 1 eine Primzahl ist.
Eigentlich schon, aber er meint die Mathematiker streiten sich darüber?

Warum denn? Wie sieht es nun aus?

Nicht mehr.
Lange Zeit war das sehr unklar. Der eine nimmt die 1 rein und der der andere nicht. Das war so lästig wie heute mit den natürlichen Zahlen. Ist 0 drin oder nicht? Es ist zwar als DIN-Norm gerergelt, ob 0 eine natürliche Zahl ist, aber Mathematiker scheren sich nicht um Normen. Und das ist gut so!
Anständige Mathematiker definieren am Anfang des Aufsatzes schnell, was sie mit "natürliche Zahlen" meinen und gut ist's. Und wer das nicht macht, dem trete ich in den Popo. Das ist auch gut.

Bei der 1 als Primzal ist das aber inzwischen durch.
1 ist KEINE Primzahl. Die Weltmathematikergemeinde hat sich da recht scharf geeinigt.
Das liegt an dem Hauptsatz der Zahlentheorie "Jede natürliche Zahl (haha, merkste was?!!!, so aus google übernommen, sagen wir mal jede n.Z.>1) läßt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen".
Der Hauptsatz heißt nicht umsonst Hauptsatz. Der ist voll praktisch und wird supi oft in weiteren Beweisen verwendet.
Man müßte immer schreiben "Also ist jedes m ein Produkt von Zahlen, die zwar Primzahlen sind, aber nicht 1" statt "Also ist jedes m ein Produkt Primzahlen". Der Nerf ist einfach zu gewaltig auf einem Hauptsatz. Deswegen mußte man sich darauf einigen, daß 1 keine Primzahl ist und man hat sich geeinigt.

Wohlgemerkt: Mathematiker einigen sich nicht, indem sie eine DIN-Norm verabschieden. Sie haben sich geeinigt. Völlig unbürokratisch. Aber inzwischen schon recht scharf.

Dein Freund, der annahm, 1 sei eine Primzahl, hatte im 5. oder 6. Schuljahr einen Lehrer, der kurz vor der Rente stand. Damals, als der Lehrer das lernte, war 1 durchaus auch mal eine Primzahl. Insbesondere hat sein Prof ihm ja im Lehrerstudium gesagt, 1 sei eine Prinzahl.

SG1 schrieb:

Mathematiker streiten sich nicht, Mathematiker definieren, dass 1 keine Primzahl ist. Macht ja anders auch keinen Sinn.

http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl#Warum_ist_die_Zahl_1_keine_Primzahl.3F

Trotzdem es plausible Gründe innerhalb der Zahlentheorie gibt, die 1 keine Primzahl sein zu lassen, erscheinen sie mir willkürlich. Die Tatsache, dass Primfaktorzerlegung nur funktioniert, wenn die 1 keine Primzahl ist, oder dass die 1 keine Primzahl sein darf, damit Primzahlen gewissen Eigenschaften gerecht werden, lässt den kritischen Geist schon aufhorchen.

volkard

Z schrieb:

...gewissen Eigenschaften gerecht werden, lässt den kritischen Geist schon aufhorchen.

Uih, ich möchte nicht gewerblich feststellen müssen, was ein Sessel ist, wenn Du meine Definition kontrollierst. Das ist nämlich noch vollkommen ungeklärt; insbesondere das Überschreiten der Weißwurstgrenze tut Welten auf.

SG1

Alle Definitionen sind erstmal willkürlich. Sinnvoll werden Definitionen dann, wenn sich sinnvolle Sätze mit diesen Definitionen formulieren lassen.

volkard

SG1 schrieb:

Alle Definitionen sind erstmal willkürlich. Sinnvoll werden Definitionen dann, wenn sich sinnvolle Sätze mit diesen Definitionen formulieren lassen.

Uih. Und was sind sinnvolle Sätze?
Das wäre zu einfach.

Rhombicosidodecahedron

Außerdem weitere mathematische "begründungen" http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Zahlentheorie:_Warum_1_keine_Primzahl_ist

SG1 schrieb:

Alle Definitionen sind erstmal willkürlich. Sinnvoll werden Definitionen dann, wenn sich sinnvolle Sätze mit diesen Definitionen formulieren lassen.

Natürlich, so funktioniert der allgegenwärtige "Definitionismus" in der Mathematik. Nicht das es schlecht ist, so wie es momentan ist, aber die Frage darf erlaubt sein, ob die Anerkennung der 1 als Primzahl nicht möglicherweise Vorteile hätte, die heute noch niemand vermutet?

SG1

Dann kann mans dann immernoch ändern.

Edit: Ausserdem kann man sich die Frage bei jeder Definition stellen. Trotzdem kommt niemand auf die Idee, 0 als ungerade zu definieren.

volkard

SG1 schrieb:

Dann kann mans dann immernoch ändern.

So ist es brav.

SG1

Häh? Was willst Du eigentlich von mir?

volkard

SG1 schrieb:

Häh? Was willst Du eigentlich von mir?

Du hast einen wesentlichen Kern der Angelegenheit herausarbeitet, wie die Gemeinde es macht und warum sie auf DIN-Normen pfeift.
Sorry, es war nicht persönlich gemeint.

freakC++

Ohne jetzt hier alles durchgelesen zu haben.

Für mich lautet die Definition einer Primzahl so: Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau zwei unterschiedlichen Teilern.

In diese Definition passt die 1 nicht hinein und ist somit keine Primzahl.

Viele Grüße
freakC++

Ohne jetzt hier alles durchgelesen zu haben.

Für mich lautet die Definition einer Primzahl so: Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau zwei unterschiedlichen Teilern.

In diese Definition passt die 1 nicht hinein und ist somit keine Primzahl.

Viele Grüße
freakC++

D.h. -3 ist auch Primzahl ?

314159265358979

Primzahlen sind per Definition nur im Raum der natürlichen Zahlen anzutreffen. Siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl

Michael E.

Lustigerweise ist -3 aber ein Primelement im Ring der ganzen Zahlen. Also sollte man mit den Wörtern "Primzahl" und "Primelement" aufpassen

Michael E. schrieb:

Lustigerweise ist -3 aber ein Primelement im Ring der ganzen Zahlen. Also sollte man mit den Wörtern "Primzahl" und "Primelement" aufpassen

Und da man prim nur für nicht-Einheiten sinnvoll definieren kann, macht es Sinn, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist.

Bitte ein Bit

Ich glaube man muss an die Sache ein wenig anders betrachten.

Am Anfang des Studiums lernten wir das leere mathematische Universum kennen wo 1+1 schlichtweg undefiniert war da 1 und + und das Ergebnis undefiniert waren. Alsobald erweiterte sich das Universum um einige Definitionen s.d. beispielsweise für 1+1 folgendes gelten konnte:
1+1=2
1+1=0
1+1=10
Aufbauend hierauf konnte man erst neues Wissen (Sätze,...) herleiten.

Beispiel:
-----------

Def. 1:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, welche nur durch 1 oder sich selbst teilbar ist.

Satz:
1 ist eine Primzahl.

Beweis:
1 ist, gemäß der Definition der Teilbarkeit von natürlichen Zahlen, durch 1 teilbar und trivialerweise auch durch sich selbst. Also folgt gemäß Definition 1 das 1 eine Primzahl ist.

Def. 2:
0/0 = 1

Satz:
0 ist eine Primzahl.

Beweis:
1 ist, gemäß der Definition der Teilbarkeit von natürlichen Zahlen, durch 1 teilbar. Ferner ist 0 gemaß Def. 2 auch durch 0 teilbar und somit folgt das 0 eine Primzahl ist.

Michael E.

Bitte ein Bit schrieb:

Def. 1:
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, welche nur durch 1 oder sich selbst teilbar ist.

Ich denke nicht, dass du diese Definition im Studium kennenlernen wirst, weil sie die bereits genannten Nachteile hat.

Satz:
1 ist eine Primzahl.

Beweis:
1 ist, gemäß der Definition der Teilbarkeit von natürlichen Zahlen, durch 1 teilbar und trivialerweise auch durch sich selbst. Also folgt gemäß Definition 1 das 1 eine Primzahl ist.

Def. 2:
0/0 = 1

Satz:
0 ist eine Primzahl.

Beweis:
1 ist, gemäß der Definition der Teilbarkeit von natürlichen Zahlen, durch 1 teilbar. Ferner ist 0 gemaß Def. 2 auch durch 0 teilbar und somit folgt das 0 eine Primzahl ist.

0/0 definiert man selten allgemeingültig, sondern höchstens in einzelnen Sätzen, wo es praktisch erscheint. Desweiteren taugen deine Beweise nichts, weil du nicht zeigst, dass 1 bzw. 0 durch keine anderen Zahlen teilbar ist. Das fliegt dir dann bei 0 um die Ohren, sobald du mehr als zwei Zahlen hast, weil 0 durch jede Zahl teilbar ist.