n-facher Eigenwert und Einheitsmatrix?

[Einheitsmatrix]

Hallo,

ich bin beim Beweisen auf eine Stelle gestoßen, wo es mir helfen würde, wenn es einen Satz gäbe, der besagt:
Wenn eine n x n Matrix A nur einen n-fachen Eigenwert besitzt, dann muss es sich bei A um die Einheitsmatrix handeln.

Gibt es so zufällig einen Satz? Ich habe schon gegoogelt, aber ich finde nur immer wieder Anleitungen zur Berechnung von Eigenwerten - wenig hilfreich.

Vielen Dank

[Bashar]

Die Aussage ist falsch. Es stimmt nichtmal, wenn man da "Vielfache der Einheitsmatrix" einsetzt.

Beispiel:

A = [2 1 ;
     0 2 ]

[Gast]

Einheitsmatrix schrieb:

ich bin beim Beweisen auf eine Stelle gestoßen, wo es mir helfen würde, wenn es einen Satz gäbe, der besagt:
Wenn eine n x n Matrix A nur einen n-fachen Eigenwert besitzt, dann muss es sich bei A um die Einheitsmatrix handeln.

Deine Aussage ist leider nicht korrekt. Wenn I die Einheitsmatrix ist, so hat 2 * I ebenfalls nur einen n-fachen Eigenwert, nämlich 2 ist aber nicht die Einheitsmatrix.

Selbst wenn du annimmst, dass dieser Eigenwert 1 ist, ist die Aussage immer noch falsch. Dann kann es sich immer noch um einen oder mehrere Jordan-Blöcke handeln.

Nimmst du an, dass der einzige Eigenwert 1 ist und die Matrix diagonalisierbar, so kannst du die Aussage zeigen. Sei A eine ebensolche Matrix. Dann ist A ähnlich zu der Einheitsmatrix (Diagonalmatrix der Eigenwerte), also

A = X D X^{-1} = X I X^{-1} = X X^{-1} = I

.

[Einheitsmatrix]

Das ist ja schade. Nagut, dann muss ich mir etwas anderes ausdenken.
Trotzdem vielen Dank.

[krümelkacker]

Wie sieht's denn mit Symmetrie aus? Ist deine n*n-Matrix symmetrisch?

[Gast]

krümelkacker schrieb:

Wie sieht's denn mit Symmetrie aus? Ist deine n*n-Matrix symmetrisch?

Für diagonalisierbarkeit würde sogar ausreichen, wenn die Matrix nur normal ist.