Beweis Injektivität
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Michael E. schrieb:
Folgt daraus nicht A -> C??
Was soll das denn darstellen? Du hast da zwei Mengen mit nem Pfeil dazwischen.
A -> C ist die Menge aller Funktionen, die von A nach C abbilden. Es ist somit eine Teilmenge der Menge aller Relationen zwischen A und C. Formal: (f \circ g) \in (A -> C) \subseteq 2^{A \times C}
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Also das hab ich noch nie gesehen. Hom(A,C) ja, aber A->C?
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Habe ich in Lineare Algebra 1 jedenfalls so gelernt. Ich meine es auch schon so öfter in Papern gelesen zu haben (zumindest in einem Fall bin ich mir sicher) ;).
Vielleicht ist die Notation eher in der Informatik üblich als in der Mathematik?
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life schrieb:
Vielleicht ist die Notation eher in der Informatik üblich als in der Mathematik?
Hm, umgekehrt würd ich das ja noch gelten lassen... aber in der informatik hab ich das garantiert noch nie gesehen, und da lese ich wirklich sehr regelmäßig. Sieht ehrlich gesagt auch iChat nach ner sonderlich praktischen Notation aus.
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Ist halt syntaktischer Zucker für dein Hom(A,B) bzw. eher Abb(A,B). Das wird so z.B. auch in der formalen Spezifikationssprache Z (Informatik) verwendet: http://www.uni-koblenz.de/~beckert/Lehre/Spezifikation/11Z.pdf
Ansonsten ist es unter Mathematikern offenbar auch verbreitet, sonst hätte ich es so nicht in Lineare Algebra I (für Mathematiker) gelernt.
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life schrieb:
Ist halt syntaktischer Zucker für dein Hom(A,B).
Spätestens beim Funktor i: Hom(.,B) -> Hom(.,C) für B teilmenge C, also i: (.->B) -> (.->C) wird das imo eher syntaktisches Brechmittel denn Zucker.
Aber vielleicht kann man das im Bereich Verifikation wirklich brauchen, da ist der Blickwinkel ja oft auch ein bissel anders. Aber weit verbreitet ist die Notation auf keinen fall.
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Ich arbeite zwar im Bereich Verifikation, aber mein damaliger Matheprof mit Sicherheit nicht. Deshalb wird es sich schon nicht auf dieses Teilgebiet beschränken.
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Ich hab die Notation auch bei den Mathematikern noch nie gesehen. Aber selbst wenn FreakC++ das so meint, ergeben seine Sätze immer noch keinen Sinn.
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freakC++ meint mit A->C die Funktion, die A auf C abbildet, also (g o f), wie belegt durch " weiß ich, dass A -> C injektiv und surjektiv ist". Der ist noch nicht so fit in den Formalitäten, man muss das, was er sagt, erstmal in seinen Kontext projizieren. Das ist nicht der eines Mathematikers, sondern eines Anfängers.
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Bashar schrieb:
freakC++ meint mit A->C die Funktion, die A auf C abbildet, also (g o f), wie belegt durch " weiß ich, dass A -> C injektiv und surjektiv ist". Der ist noch nicht so fit in den Formalitäten, man muss das, was er sagt, erstmal in seinen Kontext projizieren. Das ist nicht der eines Mathematikers, sondern eines Anfängers.
Ich weiß, ich will ihn nur darauf hinweisen, damit sich seine Ausdrucksweise schnell verbessert.
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Btw. Jester: Eine Funktion f: A -> B bildet Elemente a \in A nach Elementen f(a) \in B ab. Soweit stimmen wir hoffentlich überein. Welche Signatur hat dann aber eigentlich eine Funktion wie
fun valueAt0 f = f (0)für dich? Konsequenterweise müsste das ja "valueAt0: Hom(int,
-> B" für dich sein. Die meisten funktionalen Sprachen, die ich kenne, würden dazu aber "valueAt0: (int -> -> B" inferieren..
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Wieso sollte das auf Homomorphismen eingeschränkt sein? Ich würde da die Menge aller Funktionen von int nach B nehmen. Nur nen einheitlichen Namen dafür kenn ich nicht
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Ja und = ist keine Gleichung sondern ne Zuweisung
Was soll mir das also sagen?Kann ja sein, dass das in der Verifikation ein Knaller ist, da kenn ich mich nicht aus. Du hast das aber bei nem mathematischen Thema aufgebracht und argumentierst jetzt mit irgendwelchen Programmiersprachen, das gilt nicht.
In der Mathematik hab ich sowas jedenfalls noch nie gesehen, und halte die Notation für unbrauchbar um damit zum Beispiel Algebra zu betreiben; warum habe ich am Beispiel demonstriert. Genauso wie man in der Mathematik die Funktion niemals nie valueAt0 nennen würde, sondern einen einbuchstabigen Bezeichner wählen würde.
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Bei uns an der Uni wird die Notation auch verwendet. Beispielsweise bei der Bestimmung der Objektsprachen von EBNF-Termen, in etwa so wie hier. Die verwendete Funktion [[.]] hat bei uns die Signatur [[.]]: T(Σ,V) -> ((V -> P(Σ*)) -> P(Σ*)). Warum sollte das unbrauchbar sein?
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Das ist eine Funktionsdefinition in ML. Sorry, die Sprache war vielleicht etwas ungeschickt gewälht. Aber eigentlich tut das auch nichts zur Sache. Ich wollte nur noch mal klarmachen, dass die Definition von "A -> B" als die Menge aller Funktionen von A nach B durchaus *sehr sehr* verbreitet in der Informatik ist.
In der Mathematik kommt die Notation auch vor, allerdings weiß ich da nicht, wie verbreitet sie tatsächlich ist. "Algebra" habe ich nie gehört, also weiß ich auch nicht, was man dort so definiert. Ich hatte aber schon bei deinem ersten Widerspruch zugestanden, dass die Definition ggf. hauptsächlich in der Informatik Verwendung findet.
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otze schrieb:
Nein, über B musst du keine Aussage treffen. B ist dir völlig egal. Du musst nur eine Aussage über C treffen.
Na klar, denn wenn ich zeigen soll, dass f injektiv ist, bedeutet dies, dass jedes Element der Bildmenge, die in B liegt, höchstens einmal eine Abbildung eines Elements aus der Definitionsmenge darstellt.
otze schrieb:
Bei deinem Beweis hast du zu früh abgebrochen, denn was bedeutet es für g(f(x)) wenn f(x)= f(y) aber x != y ist?
Das würde dann bedeuteten, dass die Injektivität nicht gegeben ist. Aber die Injektivität der Abbildung g(f(x)). Da weiß ich aber, dass sie gegeben ist. Ich möchte ja zeigen, dass f injektiv ist..
Ich komme einfach nicht dahinter, wie ich von meinem Wissen A -> C ist bijektiv, eine Aussage auf B machen zu können...
Zur Notation: Hier wird sie auch verwendet: http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)
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freakC++ schrieb:
otze schrieb:
Bei deinem Beweis hast du zu früh abgebrochen, denn was bedeutet es für g(f(x)) wenn f(x)= f(y) aber x != y ist?
Das würde dann bedeuteten, dass die Injektivität nicht gegeben ist. Aber die Injektivität der Abbildung g(f(x)). Da weiß ich aber, dass sie gegeben ist.
Klingt nach nem Widerspruch, nicht wahr? *zaunpfahlschwenk*
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wenn f nicht injektiv ist, gibt es x1 != x2 mit f(x1) == f(x2). Dann kannst du g wählen wie du willst, es wird [b]immer[/i] g(f(x1)) = g(f(x2)) sein, also kann gof nie bijektiv sein, egal wie g aussieht.
Wenn du einem Rudel Hunden Namen gibst, und nennst zwei Hunde "Hasso".
Und anschließend vertauschst du die Namen nach dem Motto "jeder Hasso heißt jetzt Rex, jeder Bonzo heißt jetzt Waldi" usw. - können dann hinterher alle Hunde verschiedene Namen haben ? na also.
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Mir isses ehrlich gesagt völlig wurscht, ihr dürft das von mir aus für die tollste notation der welt halten. ich halt's für unbrauchbar und benutze sowas nicht. Wer's nutzen mag soll's tun, wer's hier als tolle standardnotation verkauft und dann kein einziges Beispiel aus der Mathematik liefern kann, sondern sich dann in Programmiersprachen flüchtet, muß damit leben dass ich widerspreche.
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freakC++ schrieb:
Zur Notation: Hier wird sie auch verwendet: http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)
Du verwendest sie aber nicht ganz korrekt.
Angenommen es gäbe eine injektive Funktion f: A -> B.
Richtig: f ist injektiv.
Falsch: A -> B ist injektiv. Was soll das sein? Wie schon diskutiert bezeichnen manche damit die Menge aller Funktionen mit Definitionsbereich A und Zielbereich B, aber auch dann ist die Aussage unsinnig. Vor allem gibt es gar keinen Bezug zu f.Ich weiß nicht, ob die Definition üblich ist, aber bei uns wurde eine Funktion definiert als (A, B, f) mit der Relation f als Teilmenge von A x B. Dafür wurde die Schreibweise f: A -> B eingeführt. Bei der Relation f kann man jetzt Aussagen über Injektivität oder Surjektivität treffen (wobei der Zielbereich implizit bekannt ist), die Schreibweise A -> B gibt es aber in dem Zusammenhang gar nicht.
Sätze wie „…Wissen A -> C ist bijektiv, eine Aussage auf B…“ machen also keinen Sinn. Du fragst dich bestimmt statt dessen, wie du mit dem Wissen, dass gof bijektiv ist, eine Aussage zu f machen kannst.