Kurze Frage zu Logik

SideWinder

V ... für alle
E ... es existiert

Vx Ey ( P(x,y) -> P(x,x) )

Frage: Existiert eine Interpretation I dieser FOrmel die kein Modell ist. Ein Kollege von mir zeigt mir:

Domain = Natürliche Zahlen
P(x,y) = x < y

Aber das ist doch Käse. Ich muss ja nicht für alle x dasselbe y wählen, oder? Ich kann ja für jedes x genau das y=x wählen und habe damit die Tautologie: P(x,x) -> P(x,x)? D.h. es gibt eigentlich gar kein solches Modell, oder?

Wer von uns hat recht?

MfG SideWinder

empgodot

ja, das geht.

nur wenn es so formuliert wäre

Ey Vx ( P(x,y) -> P(x,x) )

müsste es für alle x dasselbe y sein.

SideWinder

Danke für die Info, Fangfrage also.

MfG SideWinder

Zeus

Vx Ey ( P(x,y) -> P(x,x) )  <=> Ey Vx ( P(x,y) -> P(x,x) ) ?

True, also ich bezweifle stark, dass man mit umdrehen der Quantoren und ihre Variable, eine andere semantische Bedeutung bekämme.

Michael E.

Zeus schrieb:

True, also ich bezweifle stark, dass man mit umdrehen der Quantoren und ihre Variable, eine andere semantische Bedeutung bekämme.

Na dann schau dir mal den Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit an.

Oder um es noch einfacher zu machen: Für alle n gibt es ein x, sodass n = x. Gilt offensichtlich für die natürlichen Zahlen.

Aber: Es gibt ein x, sodass für alle n gilt: n = x. Das hieße, dass alle natürlichen Zahlen gleich wären.

volkard

Zeus schrieb:

True, also ich bezweifle stark, dass man mit umdrehen der Quantoren und ihre Variable, eine andere semantische Bedeutung bekämme.

Gegenbeispiel:

Für alle Männer gilt: Es gibt eine Frau, die er liebt.
(Jeder liebt seine Mutter zum Beispiel.)

Es gibt eine Frau für die gilt: Alle Männer lieben sie.
(Wohl Marilyn Monroe oder so jemand.)

SideWinder schrieb:

V ... für alle
E ... es existiert

Vx Ey ( P(x,y) -> P(x,x) )
Frage: Existiert eine Interpretation I dieser FOrmel die kein Modell ist. Ein Kollege von mir zeigt mir:
Domain = Natürliche Zahlen
P(x,y) = x < y

Das Beispiel von deinem Kollegen zieht doch:
x steht in Relation zu y genau wenn x echt kleiner zu y ist. Ist dies der Fall folgt daraus ja nicht, dass x auch in Relation zu x steht. (keine Reflexivität)

Also selbst wenn du y mit y=x wählst hast du nichts gewonnen: falsch -> falsch (und das ist wahr)
Unterm Strich bedeutet dass doch nun, dass nicht für alle x ein y existiert, so dass deine Eigenschaft gilt, gerade weil _nie_ P(x,x) gilt.

Verbessert mich gerne, wenn ich total falsch liege! Ansonsten hoffe ich, dass es dir weiter hilft!

Michael E.

3Sem.Informatik schrieb:

Das Beispiel von deinem Kollegen zieht doch:
x steht in Relation zu y genau wenn x echt kleiner zu y ist. Ist dies der Fall folgt daraus ja nicht, dass x auch in Relation zu x steht. (keine Reflexivität)

Soweit richtig.

Also selbst wenn du y mit y=x wählst hast du nichts gewonnen: falsch -> falsch 0(und das ist wahr)

Also ist die Gesamtaussage wahr, wie du selbst in Klammern schreibst.

Unterm Strich bedeutet dass doch nun, dass nicht für alle x ein y existiert, so dass deine Eigenschaft gilt, gerade weil _nie_ P(x,x) gilt.

Es ist auch nicht gefordert, dass es ein y gibt, sodass P(x,y) gilt, sondern es gibt ein y, sodass aus P(x,y) direkt P(x,x) folgt.

Ok überzeugt...danke Michael E.

Alle Bürgermeister sind Menschen <-> Alle Menschen sind Bürgermeister.