Name einer Folge

[sdfljk]

Hallo,

kennt jemand den Namen dieser Folge:

a_1 = a
a_2 = b
a_n = (a_{n-1}+b_{n-2})/2

[Gregor]

Soll das b_{n-2} ein a_{n-2} sein?

[Bashar]

*müll*

[volkard]

für geeignete Startwerte wäre
a_n * 2^n = A048573

[Werner Salomon]

sdfljk schrieb:

kennt jemand den Namen dieser Folge:

a_1 = a
a_2 = b
a_n = (a_{n-1}+a_{n-2})/2

Sei a_n=(u*a + v*b)/d und schreibt man die ganzzahligen Koeffizienten u und v sowie den Divisor d für jedes a_n auf, so ergibt sich folgendes Muster

u   v    d
a_1     1   0    1
a_2     0   1    1
a_3     1   1    2
a_4     1   3    4
a_5     3   5    8
a_6     5  11   16
a_7    11  21   32
a_8    21  43   64

Die Folge 0,1,1,3,5,11,21,43 nennt man nach The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences die Jacobsthal Folge

Die Formel für die Jacobsthal Folge lautet j_n=(2^n - (-1)^n)/3 mit j_0=0, dann ist u_n=j_(n-2) (für n>1) und v_n=j_(n-1). d_n=2^(n-2) (mit n>1).

Demnach ist
a_n=(u_n*a + v_n*b)/d_n
= (j_(n-2)*a + j_(n-1)*b)/d_n
= ((2^(n-2) - (-1)^n)*a + (2^(n-1) + (-1)^n)*b) / (3 * 2^(n-2))
= (2^(n-2)(a + 2*b) + (-1)^n*(b - a)) / (3 * 2^(n-2))
= (a + 2*b)/3 + ((-1)^n*(b - a)) / (3 * 2^(n-2))
und das geht für n->unendlich gegen (a + 2b)/3

Gruß
Werner