Ring

freakC++

alles klar...warum sind die Verknüpfungen eigentllich beim Ring festgelegt? Bei Gruppen kann ich sie mir doch auch aussuchen....

Jester

Was meinst du mit festgelegt?

prinzipiell kannst du die Bezeichnungen ja immer noch frei wählen. Man verwendet nur häufig + in *, weil man dann das distributivgesetz intuitiv benutzen kann.

SeppJ

freakC++ schrieb:

alles klar...warum sind die Verknüpfungen eigentllich beim Ring festgelegt? Bei Gruppen kann ich sie mir doch auch aussuchen....

Sind sie nicht. Bei den Primzahlrestklassenringen sind sie festgelegt, aber nur, weil dies spezielle Ringe sind, die sich eben dadurch auszeichen, genau die Verknüpfungen und Elemente zu haben, die sie haben.

freakC++

alles klar...warum sind die Verknüpfungen eigentllich beim Ring festgelegt? Bei Gruppen kann ich sie mir doch auch aussuchen....

icarus2

freakC++ schrieb:

alles klar...warum sind die Verknüpfungen eigentllich beim Ring festgelegt? Bei Gruppen kann ich sie mir doch auch aussuchen....

Kurz:
Es ist so definiert.

Etwas laenger:
Man trifft in der Mathematik viele Mengen an, auf der eine Addition und eine Multiplikation definiert ist mit den entsprechenden Eigenschaften. Um das ganze dann zu verallgemeinern hat man das Konzept des Rings eingefuehrt. Z.B. ist die Menge der ganzen Zahlen ein Ring. Oder Polynome ueber den reellen Zahlen.
Der Ring ist dabei (obwohl die Operationen klar festgelegt sind) ein allgemeines Konzept fuer viele solche Strukturen in der Mathematik.

freakC++

achso....die Menge aller Polynome über den gnazen Zahlen ist auch ein Ring oder?

die Menge aller Polynome über den natürlichen Zahlen ist kein Ring, weil (N,+) keine Gruppe ist und damit auch nicht abelsch sein kann...

Habe ich da recht?

icarus2

Ja, (N,+) ist keine Gruppe, da nicht alle Elmente Inverse haben.

Bemerkung zu deiner Definition:
Du hast geschrieben, dass die Gruppe abelsch sein muss. Im Prinzip muesste das gar nicht in der Definition stehen, da dies aus dem Distributivgesetz folgt:
Du kannst (a+b)*(1+1) auf zwei Arten ausmultiplizieren:

(a+b)*(1+1) = (a+b)*1 + (a+b)*1 = a + b + a + b
(a+b)(1+1) = a(1+1) + b*(1+1) = a + a + b + b

Dann bekommst du:
(a+b)(1+1) = (a+b)(1+1)
<==> a + b + a + b = a + a + b + b | (-a)+(...)
<==> b + a + b = a + b + b | (...)+(-b)
<==> b + a = a + b

==> Die Gruppe muss Abelsch sein.

*Edit
Aber meisens schreibt man in der Definition trotzdem, dass die Gruppe abelsch sein muss. Keine Ahnung wieso ^^

deswegen nicht erwähnt werden, weil sie unzweideutig durch die von (R,+,0) bestimmt sind: Polynom-Addition => Addition der Koeffizienten, Polynom-Mult => sum_k sum_i+j=k a_ib_jx^k.

Warum also Platz verschwenden mit der Angabe von + und * in R[x], wenn die bereits durch (R,+,*) festgelegt sind ?

freakC++

Hallo zusammen,

ich schlage mich gerade mit wohl einem sehr trivialen Beweis herum. Und zwar gilt für Ringe 0 * r = r * 0 = 0.

Den Beweis habe ich hier stehen, aber ich kann ihn nicht ganz nachvollziehen:

0 = r * 0 - r * 0 = (r * 0 + r * 0) - r * 0 = r * 0 + (r * 0 - r * 0) = r * 0

Ich versuche ihn mal nachzuvollziehen: Da ein Ring aus einer Gruppe besteht, hat jedes r € R ein additiv inverses Element. Von r * 0 lautet dies - (r * 0). Das muss laut Definition bei Addition mit dem Inversen das neutrale Element, also 0 ergeben.

Also schreibe ich: 0 = r * 0 + (- (r * 0)) = r * 0 - r * 0.

Das ist der erste Schritt des obigen Beweises. Jetzt bleibe ich aber hängen. Warum kann ich jetzt plötzlich (r * 0 + r * 0) für r * 0 schreibe? Ich weiß doch eigentlich gar nicht, dass das dasselbe ist....

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

Vielen Dank
lg, freakC++

aus dem Distributivgesetz und aus 0+0=0 (gilt in jeder additiven Gruppe) folgt:

0*r+0*r=(0+0)*r=0*r

da jeder Ring eine additive Gruppe ist, darf man auf beiden Seiten der Gleichung 0*r subtrahieren, ohne daß sich die Gültigkeit der Gleichung ändert:

=> 0*r = 0.

zusammen:

0*r+0*r=0

freakC++

Danke für deine Antwort. Ich habe es verstanden. Ich habe noch einen anderen, sehr trivialen Satz, den ich gerne beweisen möchte.

(-r) * s = r * (-s) = - (r * s)

Ich darf keine Kommutativität vorraussetzen, da der Ring ja nicht kommutativ sein muss.

Ich darf auch nicht vorraussetzen, dass -r = -1 * r ist.

Wie kann ich sonst an den Beweis drangehen? Ich habe den Eindruck, nichts in der Hand zu haben....

lg, freakC++

icarus2

Beiweis von (-1)*r = -r:

(-1)*r + r = (-1)*r + 1*r = ((-1)+1)*r = 0*r = 0

==> (-1)*r + r = 0 | (...)+(-r)
// Hier vielleicht noch einen Zwischenschriit hinschreiben
<==> (1)*r = -r

Vielleicht hilft das das mal weiter fuer deinen Beweis.

Edit
Dass 0r = 0 gilt ist nicht selbstverstaendlich und muss auch bewiesen werden.

Häng doch einfach mal eine 0 vorne an (-r)*s dran und versuche, die anders darzustellen. z.B.
(-r)*s = 0 + (-r)*s = (-(r*s) + r*s)) + (-r)s
Jetzt steht -(rs) immerhin schon drin, musst nur noch ein wenig mit Assoziativität und Distributivgesetz spielen.

Btw, du studierst nicht zufällig an der TU Darmstadt?

freakC++

icarus2 schrieb:

Dass 0*r = 0 gilt ist nicht selbstverstaendlich und muss auch bewiesen werden.

Ich habe das Problem mal so gelöst:

0 = r*0 - r*0 = r(0 + 0) - r*0 = (r*0 + r*0) - r*0 = r*0 + (r*0 - r*0) = r*0

icarus2 schrieb:

(-1)*r + r = (-1)*r + 1*r = ((-1)+1)*r = 0*r = 0

Daran hatte ich auch schon gedacht, aber ich war mir nicht sicher, ob ich von Kommutativität ausgehen kann. Warum kann ich die Einsen nach vorne ziehen?

Angenommen der Schritt stimmt, wird alles einfach:

(-1) * r * s = r * (-1) * s = - r * s

freakC++

jokester_ schrieb:

Btw, du studierst nicht zufällig an der TU Darmstadt?

Ich arbeite mit dem Script, da es sehr ausführlich ist Warum?

freakC++ schrieb:

Ich arbeite mit dem Script, da es sehr ausführlich ist Warum?

Weil's mir doch irgendwie bekannt vorkam, was du hier so in letzter Zeit fragst
Das mit der Eins führt dich übrigens nirgendwo hin, da ein Ring nicht zwangsweise überhaupt eine 1, geschweige denn -1 enthält.

icarus2

jokester_ schrieb:

Das mit der Eins führt dich übrigens nirgendwo hin, da ein Ring nicht zwangsweise überhaupt eine 1, geschweige denn -1 enthält.

Doch.
Siehe formale Definition hier: http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)

Im Artikel steht auch, dass manche Definitionen für Ringe keine 1 erfordern. Im Skript, das freakC++ nutzt, ist das auch so, und Ringe mit einer Eins heißen da schlicht "Ring mit Eins."

icarus2

jokester_ schrieb:

Im Artikel steht auch, dass manche Definitionen für Ringe keine 1 erfordern. Im Skript, das freakC++ nutzt, ist das auch so, und Ringe mit einer Eins heißen da schlicht "Ring mit Eins."

Hast recht. Offenbar wird die Existenz von 1 nicht immer gefordert.

freakC++

Noch eine Verständnisfrage: Eine Gruppe ist eine Menge, eine Ring und ein Körper sind auch Mengen.

Eine Gruppe ist eine Menge mit genau einer Verknüpfung. Diese Gruppe muss einen gewissen Axiomensatz erfüllen, um überhaupt eine Gruppe zu sein.

Ein Ring dagegen sind jetzt alle Elemente einer Gruppe mit der Verknüpfung +, die ich mit einander multiplizieren kann?! Also gelten hier Kommutativität und das Distributivgesetz.

Nun ist ein Körper eine Mengem, wo ich auch noch dividieren kann. Jetzt habe ich aufgeschnappt, das ein Ringe aus genau einer Gruppe besteht und ein Körper aus zwei.

Warum? Ein Körper ist doch einfach nur ein kommutativer Ring, der die 1 und nicht die 0 enthält. Warum brauche ich dafür plötzlich zwei Gruppen?

lg, freakC++