Basis von R3
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warum größer gleich 3? ich dachte die Basis enthält die Minimalanzahl von Vektoren, die die Ursprungsmenge erzeugen....
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= 3 + l.u. im R^3 => = 3
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Es sind immer genau 3. Weniger als 3 erzeugen den R^3 nicht, mehr als 3 sind nicht linear unabhängig.
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Das stimmt zwar, aber die Basis enthält trotzdem nur drei Vektoren
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Bashar schrieb:
Es sind immer genau 3. Weniger als 3 erzeugen den R^3 nicht, mehr als 3 sind nicht linear unabhängig.
ok. danke
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Ich habe jetzt die folgende Übungsaufgabe:
Ist n € N\{0} und V ein n-dimensionaler Vektorraum, so ist jede linear unabhängige Teilmenge von V mit n Elementen eine Basis von V.
Das möchte ich nun bewiesen. Eigentlich ist das ja klar. Wenn wir uns mal die Standardbasis anschauen, dann hat die von einem n - dimensionalen Raum genau n Elemente, die alle l.u. sind.
Zum Formalen: Für eine Basis B müssen die folgenden beiden Kriterien erfüllt sein:
1.) B ist linear unabhängig.
2.) <B> = V mit <B> := lineare Hülle von VSei V nun ein K-Vektorraum, K der Körper und M = {m1, m2, ..., mn} eine Teilmenge von V. Dann ist M nach obiger Vorraussetzung bereits linear unabhängig.
x1, x2, ..., xn € K.
x1*m1 + x2*m2 + ... + xn*mn = V.
Die lineare Hülle von B ist also wiederum V, sodass beide Kriterien für eine Basis erfüllt sind.
Ist dieser Beweis richtig oder doch nur Unfug? Ich bitte um Verbesserungsvorschläge :xmas1:
lg, freakC++
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Die Aufgabe ist ganz stark abhängig von den Sätzen, die ihr bisher bewiesen hat. Deshalb kann man dir schlecht helfen.
Aber ja, dein Beweis ist unsinnig.
M = {m1, m2, ..., mn} eine Teilmenge von V. Dann ist M nach obiger Vorraussetzung bereits linear unabhängig.
Nach welcher Voraussetzung?
x1*m1 + x2*m2 + ... + xn*mn = V
Die Summe ist ein Element von V, aber ganz sicher nicht V selbst.
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mmmh...ok. Dann noch eine letzte Frage.
Angenommen ich habe einen endlichen Vektorraum, der nur linear unabhängige Vektoren enthält. Ist das dann eine Basis von sich selbst? Weil ich wüsste nich, wie ich jetzt eine andere Menge erstellen soll, die diese aufspannt.....
Danke euch
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Wie willst du denn einen Vektorraum haben, der nur linear unabhaengige Vektoren als Elemente hat?
Alle Linearkombinationen der linear unabhaengigen Basisvektoren sind wieder im Vektorraum enthalten, da dieser abgeschlossen ist. Also enthaelt der Vektorraum auch linear abhaengige Vektoren.
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Ich meinte eigentlich Untervektorraum, doch dieser ist ja auch in sich abgeschlossen. Das Argument ist das gleiche. Ich habe nur folgendes Problem. Angenommen mein Untervektorraum heißt
U = <(1,0,0), (0,1,0)>
Wie lautet dann die Basis davon? Das sind doch eigentlich gerade die beiden Vektoren (1,0,0) und (0,1,0) oder?
Vielen Dank
lg, freakC++
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Zum Beispiel, ja.
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Ja, U = <(1,0,0), (0,1,0)> ist ein Unterraum von R^3.
Der Unterraum ist allerdings nicht gleich der Basis. Er wird viel mehr von der Basis erzeugt. Das heisst der Unterraum ist die Menge aller Linearkombinationen a*(1,0,0) + b*(0,1,0).
Ich hoffe ich habe dich nicht falsch verstanden.
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icarus2 schrieb:
Ich hoffe ich habe dich nicht falsch verstanden.
Nein, hast Du nicht