partielle Ordnung

[freakC++]

Hallo zusammen,

bei einer Totalordnung kann jedes Element der Menge mit jedem verglichen werden. Es ist also eine Anordnung wie zum Beispiel in einem Wörterbuch möglich. Formal geschrieben bedeutet das das: Sei X eine Menge

$\forall x,y \in X: x \leq y \vee y \leq x$

Aber was ist dann eine partiell geordnete Meneg? Irgendwie ist mir der Unterschied nicht klar.

Könnt ihr mir da helfen?

Vielen Dank und
lg, freakC++

[Namenloser342]

hilft dir wikipedia da nicht?

"Eine Totalordnung, totale Ordnung, Anordnung oder lineare Ordnung ist eine Halbordnung, die zudem eine totale Relation ist, das heißt für je zwei beliebige Elemente a,b der Grundmenge mit a ≠ b ist stets mindestens eine der beiden Relationen a\,R\,b oder b\,R\,a erfüllt."

[volkard]

Vielleicht eine, wo es vorkommt, daß man von zwei Elementen gar nicht bestimmen kann, welches größer ist.

Beispiel:
Ich nehme als Menge mal die Zahlen 1 2 3 4 5
Und statt dem üblichen <= nehme ich istTeilerVon.

Und ich erkenne
1 istTeilerVon 1
1 istTeilerVon 2
1 istTeilerVon 3
1 istTeilerVon 4
1 istTeilerVon 5
2 istTeilerVon 2
2 istTeilerVon 4
3 istTeilerVon 3
4 istTeilerVon 4
5 istTeilerVon 5
Und das war alles.

Wer liegt vorne von 2 und 4? Die 2, denn 2 istTeilerVon 4!

Wer liegt vorne von 3 und 1? Die 1, denn 1 istTeilerVon 3!

Aber:
Wer liegt vorne von 3 und 4? Keine Ahnung. Weder die eine noch die andere ist in der jeweils anderen enthalten. Die beiden sind sich völlig fremd.

[freakC++]

Namenloser342 schrieb:

hilft dir wikipedia da nicht?

"Eine Totalordnung, totale Ordnung, Anordnung oder lineare Ordnung ist eine Halbordnung, die zudem eine totale Relation ist, das heißt für je zwei beliebige Elemente a,b der Grundmenge mit a ≠ b ist stets mindestens eine der beiden Relationen a\,R\,b oder b\,R\,a erfüllt."

Doch, aber Wikipedia konnte meine Frage bezüglich der partiellen Ordnung nicht beantworten.

@volkard: Das ist wohl ein ziemlich gutes Beispiel. Kann man umgangssprachlich sagen, dass bei einer partiell geordneten Menge eben nicht jedes Element eingeordnetet werden kann? Bei manchen (hier z.B. 2 und 4) funktioniert es, doch bei manchen (z.B. 3 und 4) wiederum nciht!

Vielen Dank
lg, freakC++

[Bashar]

freakC++ schrieb:

@volkard: Das ist wohl ein ziemlich gutes Beispiel. Kann man umgangssprachlich sagen, dass bei einer partiell geordneten Menge eben nicht jedes Element eingeordnetet werden kann? Bei manchen (hier z.B. 2 und 4) funktioniert es, doch bei manchen (z.B. 3 und 4) wiederum nciht!

«eingeordnet» ist das falsche Wort. Das klingt ja danach, als hättest du eine Totalordnung (also wie 1 < 2 < 3 < 4 < 5) und dazu einzelne Elemente, die irgendwie nicht reinpassen (vielleicht imaginäre Zahlen). Es ist einfach so, dass manche Elemente untereinander vergleichbar sind und andere nicht.

Man kann sich Ordnungen als Hasse-Diagramm visualisieren, das ist manchmal ganz nützlich.

[freakC++]

Alles klar :). Und wenn gar keine Ordnung vorliegt, dann kann man tatsächlich kein Element mit keinem anderen vergleichen?

Vielen Dank
lg, freakC++

[volkard]

freakC++ schrieb:

Alles klar :). Und wenn gar keine Ordnung vorliegt, dann kann man tatsächlich kein Element mit keinem anderen vergleichen?

Muß nicht sein.

A gewinntImSchachMeistensGegen B
B gewinntImSchachMeistensGegen C
C gewinntImSchachMeistensGegen A

Jetzt sind alle Spieler vergleichbar mit allen anderen. Trotzdem liegt keine Ordnung vor.

edit:
Stein gewinntGegen Schere
Schere gewinntGegen Papier
Papier gewinntGegen Stein

Bogenschütze gewinntGegen Lanzenträger
Lanzenträger gewinntGegen Reiter
Reiter gewinntGegen Bogenschütze

Wobei die Kreise auch größer sein können.

Ich vermute, es müssen nichtmal Kreise sein, sondern es reicht, wenn die Relation nicht transitiv ist.

Zeus istPapaVon Aiakos
Aiakos istPapaVon Telamon
aber Zeus ist nicht Papa von Telamon

Wobei man sich dazu schon eine Ordnung "denken" könnte. Indem man daraus die Relation istVorfahreVon konstuiert (das wäre die transitive Hülle).