Differenzieren

Hallo!

Hier mal ein Bsp:

Untersuche, ob der Funktionsgraph eine Tangente mit de Steigung k besietzt, wenn ja, ermittle die Koordinaten dieses Punktes und gib die gleichung der Tangente an:

f(x)=x²-x k=3

f′(x)=2x−1

Ja f′(x) ist ja gleich k, aber wie erkennt man jetzt ohne zu Zeichnen das eine Tangente mit der Steigung k existiert?

Jo, aber im Lösungsbuch steht:

k=2;
P(1/0)... Punkt wo die Tangente liegt;
y=x-1...Gleichung der Tangente

Naja und ich gehe davon aus das hier nur eine TAngente mit der STeigung 2 existiert und nicht mit der Steigung 3.

mfg maths_man

icarus2

Wenn du herausfinden willst, ob die Funktion f(x) an irgend einem Punkt die Steigung k = 3 hat, dann kannst du das so loesen:
$f'(x) = 3 \Longleftrightarrow 2x-1 = 3 \Longrightarrow x = 2$
Das heisst an der Stelle x = 2 hat die Funktion f(x) die Steigung k = 3.

Ich nehme an die Tangente wirst du nun selber berechnen koennen.

Danke!

Jup, aber warum steht dann im Lösungsbuch was von k=2?

Das ist ja das blöde daran...

Welche Fall würde den auftreten das in einer Funktion die Tangentensteigung k=3, also die Tangente die eine Steigung von 3 hat nicht gibt?

icarus2

Ich nehme an im Loesungsbuch sollte nicht k = 2 sondern x = 2 stehen. Ist wohl ein Fehler.

Wenn die Funktion f(x) an keiner Stelle x die Steigung 3 hat, dann hat die Gleichung f'(x) = 3 keine Loesung.
Als Beispiel:
$f(x) = x, \quad f'(x) = 1$
Dann siehtst du, dass die Gleichung
$f'(x) = 1 \enspace \Longleftrightarrow \enspace 1 = 3$
keine Loesung x hat und somit die Funktion f(x) = x (die hat ja ueberall die Steigung 1) an keiner Stelle die Steigung 3 hat.

Ok, danke dir!

Die Fehler im Lösungsbuch dienen nur als Verwirrung...^^

Nur so nebenbei: Die existenz gewisser Tangentensteigungen ist auch noch durch den Mittelwertsatz der Differentialrechnung gegeben.

Danke.

Ich muss bei den folgenden Beispielen implizit Differenzieren, d.h. das ich bei jedem Term der y enthalten die Kettenregel anwenden muss.

1. Bsp: $\frac{x}{y}=x-1$

Wie soll ich hier bei x/y die Kettenregel anwenden?

2. Bsp: \sqrt[3]{2y-1} -x=1

Abgeleitet:
$\frac{1}{3} \cdot (2y-1)^{-\frac{2}{3} }\cdot y' -1=0$

Ich glaube net das das stimmt