4. Aussage mit Mittelwertsatz der Differenzialrechnung zeigen.

Aussage mit Mittelwertsatz der Differenzialrechnung zeigen.

  • A

    Hallo,

    ich habe hier eine Aufgabe aus der Analysis, bei der ich nicht weiterkomme.

    Es soll gezeigt werden: ∀ x ∈ (0, ∞)\ und\ y ∈ (0, x)\ gilt:\ \frac{x^x}{y^y}<(xe)^{x-y}

    Ich nehme an, dass die Aussage mit dem Mittelwertsatz gezeigt werden soll, da ich den Satz bei einer äquivalenten Aufgabe auch benötigt habe.

    Mir fällt nur nicht genau ein wie ich hier vorzugehen habe. Ich habe zuerst versucht die Gleichung ein wenig umzuformen:

    xxyy<(xe)x−y\frac{x^x}{y^y} < (xe)^{x-y}
    ⇔\frac{e^{x log(x)}}{e^{y log(y)}} < e^{(x-y)log(xe)}
    ⇔\frac{e^{x log(x)}}{e^{y log(y)}} < \frac{e^{x log(xe)}}{e^{y log(xe)}}

    Ich sehe aber nicht wie mich das weiter bringen sollte. Könnte mir jemand einen Tipp geben in welche Richtung ich da weitersuchen soll, bzw. mir sagen ob ich mit den Umformungen überhaupt etwas anfangen kann?

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  • M

    Du kannst hier viel elementarer vorgehen. Schreib den Ausdruck mal um zu (xy)y<ex−y\left(\frac xy\right)^y < e^{x-y}, logarithmiere und benutze meine Lieblingsungleichung 1+x≤ex1+x\leq e^x.

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  • A

    Ich bin leider noch immer nicht viel weiter gekommen.

    Nach dem logarithmieren hab ich da nun y ln(\frac{x}{y}) < x-y⇔ y(ln(x)-ln(y)) < x-y stehen. Wo ist da jetzt der Zusammenhang zu 1+x≤ex1+x \leq e^x?

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  • M

    Antoras schrieb:

    Ich bin leider noch immer nicht viel weiter gekommen.

    Nach dem logarithmieren hab ich da nun y ln(\frac{x}{y}) < x-y⇔ y(ln(x)-ln(y)) < x-y stehen. Wo ist da jetzt der Zusammenhang zu 1+x≤ex1+x \leq e^x?

    y(ln(x)−ln(y))<x−y⇔ln(xy)<xy−1⇔1+ln(xy)<xyy(ln(x)-ln(y)) < x-y \Leftrightarrow \ln\left(\frac xy\right) < \frac xy - 1 \Leftrightarrow 1 + \ln\left(\frac{x}{y}\right) < \frac xy

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  • A

    Michael E. schrieb:

    y(ln(x)−ln(y))<x−y⇔ln(xy)<xy−1⇔1+ln(xy)<xyy(ln(x)-ln(y)) < x-y \Leftrightarrow \ln\left(\frac xy\right) < \frac xy - 1 \Leftrightarrow 1 + \ln\left(\frac{x}{y}\right) < \frac xy

    Hm, wie schwer doch die einfachsten Sachen sein können. 😞

    Ich glaube mein Hauptproblem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht wirklich verstanden habe was ich eigentlich ausrechnen soll. Dank der Skizze auf Wikipedia kann ich mir den Mittelwertsatz einigermaßen vorstellen, aber ich weiß nicht was der Zusammenhang zwischen dem Satz und meinem Problem sein soll.

    Ich hab jetzt eine umgeformte Ungleichung, aber wie arbeite ich damit weiter? Der Lösungsweg ist offensichtlich wenn ich ihn sehe, aber ich würde nie selbst darauf kommen. Kannst du anschaulich erklären, was eigentlich die grundsätzliche Idee ist, nach der ich arbeiten muss um die Aufgabe zu lösen? Ansonsten habe ich nämlich nur wieder eine weiter Lösung zu irgendeiner Aufgabe ohne zu wissen was ich eigentlich gemacht hab.

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  • M

    Naja, den Mittelwertsatz hab ich ja jetzt gar nicht benutzt. Ich kann dir leider keinen systematischen Weg angeben, wie ich auf die Lösung gekommen bin. Ich hab einfach nur solange umgeformt, bis ich auf was Brauchbares gekommen bin. Dass ich 1+x<=e^x oder etwas Ähnliches brauchen würde, hab ich geahnt, denn wo soll sonst das e herkommen? Also kann ich dir höchstens den Tipp geben, dir ein paar Möglichkeiten zu überlegen, wie du die Seiten der Ungleichung in Verbindung zueinander bringen kannst, und die dann der Reihe nach durchzuprobieren.

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