Dass x gerade ist, ist notwendig dafür, dass x durch 12 teilbar ist...
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ipsec: Ja und? Jetzt hast du die zu zeigende Aussage durch eine genauso schwere Aussage ersetzt.
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Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.
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Also eine der beiden Fragestellungen muss aber trotzdem bewiesen werden, sei es nun (B => A) oder (nicht A => nicht B). Wenn beide falsch sind, dann stimmt die Aequivalenz trotzdem.
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ipsec schrieb:
Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.
Das Problem ist, dass man zuerst die (triviale) Aussage
B \implies A
beweisen muss, damit man diese fuer die Aquivalenzumformung verwenden kann.
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ipsec schrieb:
Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.
Die Frage ist ja, ob es reicht oder nicht. Jeder versteht die Bedeutung von (B ⇒ A) und die Regeln, weshalb die Äquivalenz zu (¬A ⇒ ¬B) gilt, sind auch klar. Nur ist (¬A ⇒ ¬B) als solches für mich gleichwertig zu (B ⇒ A) in dem Sinne, dass sich die Frage stellt, warum es plötzlich als Beweis ausreichen sollte. Oder muss man hier die versteckte Aussage sehen, dass keine ungerade Zahl durch eine gerade Zahl teilbar ist?
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Vielleicht würde ein Wiederspruchbeweis hier helfen:
Annahme: Dass x gerade ist, ist nicht notwendig dafür, dass x durch 12 teilbar ist. -> Behauptung: x ist durch 12 teilbar aber nicht gerade
Nehmen wir an x sei durch 12 teilbar. Dann wissen wird das x ein vielfaches von 12 ist und wir können schreiben x = 12*n, was man auch als x=2*2*3*n schreiben kann. Gemäß der Definition von geraden Zahl wissen wir das die Primfaktorzerlegung von geraden Zahl immer eine 2 enthalten, voraus wir schließen können das x immer gerade ist, was ein Wiederspruch zu Annahme ist.
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icarus2 schrieb:
ipsec schrieb:
Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.
Das Problem ist, dass man zuerst die (triviale) Aussage
B \implies A
beweisen muss, damit man diese fuer die Aquivalenzumformung verwenden kann.Seit wann muß eine Aussage wahr sein, damit man sie äquivalent umformen kann?
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Jester schrieb:
icarus2 schrieb:
ipsec schrieb:
Die Frage war „Sprich: Wenn x nicht gerade ist, ist x auch nicht durch 12 teilbar. Das ist naheliegend, aber warum reicht es als Beweis aus?”. Wegen genau dieser Äquivalenz reicht das tatsächlich als Beweis.
Das Problem ist, dass man zuerst die (triviale) Aussage
B \implies A
beweisen muss, damit man diese fuer die Aquivalenzumformung verwenden kann.Seit wann muß eine Aussage wahr sein, damit man sie äquivalent umformen kann?
Ich habe mich da falsch ausgedrueckt. Ich meinte damit nicht, dass man die Implikation fuer die Umformung beweisen muss sondern dass man A ==> B beweisen muss, damit man die Wahrheit der Aussage im Beweis verwenden kann. Ansonsten hat man durch die Umformung bloss zwei aquivalente Formeln, ueber deren Wahrheitswert man nichts weiss.
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Wäre es hinreichend, so wäre jede gerade Zahl (in den natürlichen zahlen) durch 12 teilbar. Das ist offensichtlich falsch(z.B. 10)
Ist eine Zahl durch 12 teilbar, so lässt sie sich gemäß der Definition von teilbarkeit als
n = k12 mit n und k element aus N schreiben.
Nun ist 12 identisch 6*2, also n = 6*k2, was wiederumg der Definition einer geraden Zahl entspricht. Also ist jede durch zwölf teilbare Zahl gerade und die Umkehrung ist im allgemeinen Falsch, was der Definition von "notwendig" entspricht.
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Namenloser342 schrieb:
Also ist jede durch zwölf teilbare Zahl gerade und die Umkehrung ist im allgemeinen Falsch, was der Definition von "notwendig" entspricht.
Seit wann darf eine notwendige Bedingung nicht hinreichend sein?