4. Warum ist die kinetische Energie quadratisch zur Geschwindigkeit?

Warum ist die kinetische Energie quadratisch zur Geschwindigkeit?

  • G

    In der Schule hatte man irgendwann mal gelernt, dass E_kin = m*v²/2 gilt. Aber warum ist das so? Intuitiv würde ich sagen, dass man die doppelte Menge Energie benötigt um ein Object auf die doppelte Geschwindigkeit zu bringen.

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  • I

    Intuitiv kann man argumentieren, dass es aufwaendiger ist ein bereits sehr schnelles Objekt zu beschleunigen als ein langsames Objekt zu beschleunigen.
    Und der Aufwand dafuer steigt proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.

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  • Gruum schrieb:

    Intuitiv würde ich sagen, dass man die doppelte Menge Energie benötigt um ein Object auf die doppelte Geschwindigkeit zu bringen.

    Dann stimmt was mit Deiner Intuition nicht. 😃
    Es gilt F = m * a.
    Intuitiv und vor allem experimentell. 😉
    Daraus folgt E_kin = m*v²/2 durch Integration (nach dem Weg).

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  • Mod

    Wie genau möchtest du das "warum" wissen? Da kann man nämlich SEHR weit ausholen*, wieso das Universum diese Eigenschaft hat. Deine Frage klingt aber eher so, als möchtest du wissen, was diese Eigenschaft bedeutet.

    *: Weiter als in einem Forenbeitrag möglich ist und auch weiter als man ohne 5-6 Semester Physikstudium verstehen kann.

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  • Z

    F= dp/dt = d/dt (mv)
    E ~ int F    v dt

    http://de.wikipedia.org/wiki/Energieerhaltungssatz#Energieerhaltungssatz_in_der_Newtonschen_Mechanik

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  • L

    E=∫Fdr=m∫r¨drdtdt=m∫r¨r˙dt=12mr˙2=12mv2E=\int F dr = m \int \ddot r \frac{dr}{dt}dt = m \int \ddot r \dot r dt = \frac 1 2 m \dot r^2=\frac 1 2 m v^2

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  • G

    Gruum schrieb:

    In der Schule hatte man irgendwann mal gelernt, dass E_kin = m*v²/2 gilt. Aber warum ist das so? Intuitiv würde ich sagen, dass man die doppelte Menge Energie benötigt um ein Object auf die doppelte Geschwindigkeit zu bringen.

    Im Prinzip ist das eine Näherung für kleine Geschwindigkeiten.

    Relativistisch gesehen ist die Gesamtenergie eines Teilchens

    E=(mc2)2+(cp)2E=\sqrt{(mc^2)^2 + (cp)^2}.

    Dabei ist m die Ruhemasse des Teilchens, c die Lichtgeschwindigkeit und p der Impuls.

    Wenn Du jetzt eine Taylor-Entwicklung dieses Ausdrucks nach dem Impuls rund um p=0 machst, dann kriegst Du für die Gesamtenergie

    E=mc2+0⋅p+p22m+0⋅p3−p48m3c2+...E = mc^2 + 0 \cdot p + \frac{p^2}{2m} + 0 \cdot p^3 - \frac{p^4}{8 m^3 c^2} + ...

    Wie Du siehst, fällt der Term, an den Du eigentlich gedacht hast bei der Taylorentwicklung einfach weg. Es gibt keinen Anteil der Energie, der proportional zum Impuls ist. Stattdessen siehst Du da im 0. Term die Ruheenergie des Teilchens und im Term 2. Ordnung die klassische kinetische Energie, ausgedrückt über den Impuls statt über die Geschwindigkeit. Im Term 4. Ordnung siehst Du die erste relativistische Korrektur zu der klassischen kinetischen Energie. Es gibt also auch noch Terme höherer Ordnung, die nicht verschwinden.

    Aber in einer klassischen, nichtrelativistischen Beschreibung braucht man diese Terme nicht. Dort hast Du sehr kleine Geschwindigkeiten und deshalb sind diese Terme gegenüber der klassischen kinetischen Energie sehr klein.

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  • B

    Eine einfache Herleitung (Schulniveau):

    http://de.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100123002907AA6plBN

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