Limes "umkehren"

[icarus2]

Hi

Ich bin gerade etwas unsicher. Welche der beiden Varianten ist richtig?

$\lim\limits_{x \nearrow 0} f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow -\infty} f(\frac{1}{n})$

$\lim\limits_{x \nearrow 0} f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(\frac{1}{n})$

Ich denke, dass Variante 1 die richtige ist. Ich bin mir allerdings nicht ganz sicher. Was meint ihr dazu?

[Connector]

Der Grenzwert einer Funktion muss für jede Folge existieren und der gleiche sein. Nicht nur für eine Folge (hier 1/n).

Insofern ist keine Variante richtig.

[icarus2]

Ich moechte ueberpruefen, ob der Grenzwert der gleiche ist, wenn ich "von rechts" und "von links" gegen 0 laufe.

Um den Grenzwert einfacher berechnen zu koennen erstze ich x durch 1/n und statt gegen 0 zu laufen, laufe ich gegen unendlich. Die Frage ist allerdings, ob ich gegen positiv oder gegen negativ unendlich laufen muss.

[Connector]

Variante 1 läuft von links gegen 0. Aber nur für die eine Folge.
Das sagt nichts über die allgemeine Existenz aus, oder dass die Funktion stets für diese Seite den gleichen Grenzwert hat.

[Connector]

Du darfst den Grenzwert nur dann auf diese Art ausrechnen, wenn Du gezeigt hast dass er existiert.

[otze]

icarus, 1+2 zusammen sind richtig. Im ursprünglichen Limes ist keine Unterscheidung für die Richtung vorhanden. Das ist eine äquivalent Schreibweise für: Sei x_n beliebige Folge mit x_n->0

\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n)

Deine 1/n-Version hingegen schränkt die Reihen ein, indem sie sagt, dass die Reihe entweder von links oder von rechts gegen 0 konvergiert. Deswegen musst du beide Seiten betrachten. Wichtig ist, dass deine Version auch nur dann gilt, wenn n eine reelle Zahl ist. Ist n eine ganze Zahl, kann ich dir hingegen eine Funktion konstruieren, sodass dein Kriterium versagt:

f(x) = 1 falls es ein n aus Z gibt so dass x=1/n
f(x) = 0 sonst

[icarus2]

Danke fuer deine Antwort otze.

Ich habe noch etwas Muehe deine Ausfuehrungen ganz genau zu verstehen. Ich werde morgen mal darueber nachdenken und dann nachfragen, falls etwas noch unklar sein sollte.

[Jockelx]

Otze, deine Antwort ist komisch oder falsch.
Was Connector verzweifelt versucht zu erklären, ist das man das dann und nur dann so umschreiben kann, wenn der Limes x->0 f(x) existiert.
Das ist ja gerade die Definition vom Grenzwert g einer Funktion, dass der entsprechende Limes für jede Folge existieren muss.
Was das mit dem 'n (der Folgenindex) muss eine reelle Zahl' sein soll, verstehe ich nicht.
Deine Beispielfunktion ist aber gut, weil der Grenzwert f(x); x gegen 0 nicht existieren kann, weil du eine Null-Folge gefunden hast, für den der Grenzwert n->oo f(x_n) nicht existiert.

[otze]

Jockelx schrieb:

Was das mit dem 'n (der Folgenindex) muss eine reelle Zahl' sein soll, verstehe ich nicht.

Was ich damit gesagt hab ist, dass er in seiner Version das n nicht als Folgenindex betrachten darf. Er darf problemlos schreiben n->inf, solange er gleichzeitig sagt, dass n \in R. Dann ist sein Limes äquivalent zu:
Sei x_n beliebige Folge mit x_n->inf

\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(1/x_n)

Was einer einfachen Substitution entspricht. Das Einzige was er nun tun muss, ist dass er auch noch die beliebigen Folgen x_n->-inf betrachtet. Wenn diese beiden Grenzwerte stimmen, dann hat er Stetigkeit gezeigt. (Was natürlich direkt fehlt sind Folgen, die um den Nullpunkt herum springen. Aber die kann man ja immer Stückweise aus den hier getesteten Folgen zusammensetzen)

[icarus2]

Ich habe das heute mit einem Analysis Assistenten besprochen und dabei ist folgendes rausgekommen:

Wenn ich zeigen will, dass $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ existiert, so reicht es nicht zu zeigen, dass $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(\frac{1}{n})$ existiert. Grund:
Wenn ich zeige, dass $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(\frac{1}{n})$ existiert, so habe ich bloss gezeigt, dass der Limes fuer diese spezifische Folge existiert, nicht aber fuer alle Folgen, die gegen 0 konvergieren.

Wenn ich allerdings weiss, dass $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ existiert, so kann ich den Limes mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(\frac{1}{n})$ berechnen.

[Michael E.]

Lies dir bitte nochmal durch, was otze geschrieben hat bzgl. n aus |R statt |N. Auch ist $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ etwas vollkommen anderes als $\lim\limits_{x \nearrow 0} f(x)$.

Edit: Wobei er nicht ganz Recht hat mit der Behauptung, dass lim f(1/n) = lim f(-1/n) bereits Konvergenz zeigt. Betrachte f(0) = 0 und f(x) = 1 für alle x außer 0.

[icarus2]

Michael E. schrieb:

Lies dir bitte nochmal durch, was otze geschrieben hat bzgl. n aus |R statt |N.

Ich habe es nochmals durchgelesen und es ist mir nun klar, wieso man $x \in \mathbb{R}$ annehmen muss.

Michael E. schrieb:

Auch ist $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ etwas vollkommen anderes als $\lim\limits_{x \nearrow 0} f(x)$.

Ja stimmt. Ich habe heute mit dem Assistenten ueber $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ diskutiert und deswegen diese Pfeile genommen.

Danke fuer eure Antworten. Ich glaube, dass ich es verstanden habe.

[Bashar]

Michael E. schrieb:

Auch ist $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ etwas vollkommen anderes als $\lim\limits_{x \nearrow 0} f(x)$.

Was ist denn letzteres? Linksseitiger Grenzwert?

[icarus2]

Bashar schrieb:

Michael E. schrieb:

Auch ist $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ etwas vollkommen anderes als $\lim\limits_{x \nearrow 0} f(x)$.

Was ist denn letzteres? Linksseitiger Grenzwert?

Genau.

[otze]

Michael E. schrieb:

Edit: Wobei er nicht ganz Recht hat mit der Behauptung, dass lim f(1/n) = lim f(-1/n) bereits Konvergenz zeigt. Betrachte f(0) = 0 und f(x) = 1 für alle x außer 0.

Hmm, das musste ich nochmal im Script nachschlagen. Genau genommen ist meine Version korrekt. Der limes wird zumidnest bei uns über das ε-δ-Kriterium definiert. Dieses wiederum betrachtet den Punkt x = 0 gar nicht. Darum müsste zumindest bei unserer Definition mit deiner Funktion im Limes 1 herauskommen.

Dies erklärt, warum bei uns bei uns für Stetigkeit gefordert wird, dass

\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)

[Bashar]

otze schrieb:

Hmm, das musste ich nochmal im Script nachschlagen. Genau genommen ist meine Version korrekt. Der limes wird zumidnest bei uns über das ε-δ-Kriterium definiert.

Bei uns im Prinzip auch. Der Grenzwert einer Funktion f an der Stelle x_0 ist der Wert der stetigen Fortsetzung von f an der Stelle x_0.
Die Charakterisierung über alle Folgen f(x_k) für x_k -> x_0 ist dann lediglich eine Folgerung. Dadurch betrachtet man automatisch nur punktierte Umgebungen.

[Michael E.]

otze schrieb:

Genau genommen ist meine Version korrekt. Der limes wird zumidnest bei uns über das ε-δ-Kriterium definiert.

Wurde bei mir auch so eingeführt, allerdings nicht punktiert. Und wieder ein Punkt, an dem man sich wegen unterschiedlicher Definitionen nicht versteht