4. Vollständige Induktion: Binomialformel

Vollständige Induktion: Binomialformel

  • F

    Hallo zusammen,

    zur Übung wollte ich die Binomialformel beweisen, wobei ich dabei so meine Schwierigkeiten habe. Zwar habe ich im Internet schon einen Beweis gefunden, der aber irgendwie einen anderen Ansatz als meine Idee hat. Daher wollte ich euch fragen, ob meine Idee richtig ist und falls dies der Fall ist, wie ich da jetzt weitermachen muss.

    Es soll (a+b)n=∑k=1n(nk)⋅an−k⋅bk(a+b)^n = \sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b^k} gezeigt werden.

    Induktionsanfang: Für n = 0 kommt sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite 1 heraus.

    Induktionsvorraussetzung: Für ein n∈Nn \in \mathbb N gilt ∑k=1n(nk)⋅an−k⋅bk\sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b^k}

    Induktionsschritt: (a+b)n+1=(a+b)n⋅(a+b)=(∑k=1n(nk)⋅an−k⋅bk)⋅(a+b)(a+b)^{n+1} = (a+b)^n \cdot (a+b) = (\sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b^k}) \cdot (a+b)

    =∑k=1n(nk)⋅an−k⋅a⋅bk+∑k=1n(nk)⋅an−k⋅b⋅bk= \sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot a \cdot b^k} + \sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b \cdot b^k}

    =∑k=1n(nk)⋅an−k+1⋅bk+∑k=1n(nk)⋅an−k⋅bk+1= \sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k+1} \cdot b^k} + \sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k+1}}

    =∑k=1n(nk)⋅an−k+1⋅bk+(nk)⋅an−k⋅bk+1= \sum\limits_{k=1}^n {\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k+1} \cdot b^k + \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k+1}}

    Und nun? Irgendwie komme ich hier nicht weiter! Wie soll ich z.B. das n+1 in den Binomialkoeffizienten reinbekommen?

    Vielen Dank
    lg, freakC++

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  • ?

    Du musst Indexverschiebung machen und dann die das Pascalsche Dreieck definierende Identität verwenden.

    Wenn es noch unklar ist, frag ruhig nach! 🙂 😋

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  • F

    Hallo mein "Helfer in der Not" :D.

    Danke für deinen Tipp. Warum ich jedoch hier eine Indexverschiebung machen soll, sehe ich nicht. Es geht doch alles brav von k nach n und das ändert sich doch auch nicht. Oder übersehe ich da etwas?

    LG, freakC++

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  • ?

    Du musst so indexverschieben, dass du (n+1 über k+1) = (n über k) + (n über k+1) anwenden kannst.

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