4. Konvergenz von Reihen

Konvergenz von Reihen

  • F

    Hallo zusammen,

    neben der Konvergenz von Folgen, habe ich eine Frage bezüglich der von Reihen.

    Ich folgende Reihe:

    ∑k=0∞2−k\sum\limits_{k=0}^\infty 2^{-k}

    Die Konvergenz ist gezeigt.

    Warum ist der Grenzwert 2? In der Lösung steht nur "Die Reihe ist konvergent mit dem Grenzwert 11−12=2\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2. Wie komme ich bitte da drauf 🙄 ?

    Vielen Dank und
    LG, freakC++

    0
  • K

    Hi,
    schreib das ganze mal um in
    ∑k=0∞12k=∑k=0∞(12)k\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}=\sum\limits_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^k

    Und dann schau mal nach Reihen wo du die Voraussetzung erfüllst, dass 12<1\frac{1}{2}<1

    erfüllt.

    Gruß,
    Klaus.

    0
  • J

    freakC++ schrieb:

    Die Konvergenz ist gezeigt.

    Dann hast du dir ja selber die Frage aus dem anderen Thread beantwortet, ob man stets den Grenzwert kennen muss, um Konvergenz zu zeigen.

    0
  • K

    Ich dachte er wollte wissen woher die Lösung

    freakC++ schrieb:

    In der Lösung steht nur "Die Reihe ist konvergent mit dem Grenzwert 11−12=2\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2. Wie komme ich bitte da drauf 🙄 ?

    kommt.

    Und da muss er bei derGeometrischen Reihe schauen. 🙂

    Gruß,
    Klaus.

    0
  • J

    Alles gut. Meine Antwort bezog sich nicht auf deine, sondern auf seine Frage im anderen Thread.

    0
  • F

    @Klaus82: Ah ja, stimmt! Die geometrische Reihe. Da war was. Vor allem weil der Grenzwert bei 1 / (1-q) liegt, falls |q| < 1.

    @JochelX: Jup, das ist mir auch schon anderen Thread klargeworden :). Cauchy-Kriterium.

    Ich habe aber noch eine andere Frage an euch. Wie allgemein bekannt ist, divergiert die harmonische Reihe. Nun frage ich mich, wie es wohl mit der Reihe ∑k=1nk2\sum\limits_{k=1}^n k^2 aussieht.

    Jetzt habe ich mich ganz toll gefüht und dachte, ich könnte hier das Minorantenkriterium verwenden. 1/k ist immer größer gleich 1/k² und divergiert. Also muss auch doch auch ∑k=1nk2\sum\limits_{k=1}^n k^2 konvergieren.

    Das tut die Reihe aber nicht. Warum ist sie konvergent? Was verstehe ich am Minorantenkriterium falsch?

    Vielen Dank
    LG, freakC++

    0
  • F

    Ich habe mir gerade die Antwort selbst gegeben :).

    1/n divergiert nicht, sondern die harmonische Reihe. Die Folge 1/n konvergiert gegen 0 🙂

    Mit welchem Kriterium kann aber denn die Konvergenz der obigen Reihe zeigen? Quotienten- und Wurzelkriterium bringen leider nichts...

    Danke

    0
  • J

    freakC++ schrieb:

    Cauchy-Kriterium.

    Das meinte ich gar nicht.
    Reihen sind ja spezielle Folgen und die Konvergenzkriterien brauchen keinen Grenzwert um angewendet zu werden.

    Zur Frage:
    Soll die Reihe wirklich endlich sein?
    Meinst du jetzt k^2 oder 1/k^2?

    Irgendwie wirfst du da gerade was durcheinander.
    Im Falle der unendlichen Reihen über k^2 divergiert sie.

    0
Anmelden zum Antworten