Aufgabenstellung verstehen

Hallo Community,

ich habe hier eine Matrix A und soll folgende Aufgabenstellung lösen:

Wählen Sie einen beliebigen Vektor $v \in \mathbb R^3$ und berechnen sie $A^{123} \cdot v$ .

Was soll diese 123? Ich kenne die Schreibweise nicht. Wer weiß da mehr?

danke schonmal

Bashar

Das ist eine Potenz. Bedeutung wie gehabt: A^n = \underbrace{A\cdot A\cdot A \cdots A}_{n\text{ mal}}

BTW ist die Aufgabe wirklich so blöd gestellt? Wenn du v wählen sollst, wähle einfach v = 0 :p

oh...interessant :). danke!

Die Aufgabe entpuppt sich als wirklich interessant. Es ist nämlich verboten, den Nullvektor zu nehmen :). Aber wie soll ich bitte 123 eine Matrix mit sich selbst multiplizieren? Da steckt doch ein Trick hinter, oder?

Vielen Dank

freakC++

Ich bin mir nicht sicher, aber könntest Du nicht einen Eigenvektor nehmen? Dann ist es doch egal, wie oft die Matrix mit sich selbst multipliziere

Aber ohne Gewähr

Bashar

umdrehen schrieb:

Aber wie soll ich bitte 123 eine Matrix mit sich selbst multiplizieren? Da steckt doch ein Trick hinter, oder?

Wahrscheinlich, aber der hängt von der Matrix ab.

Jordan-Normalform.

Also die Matrix lautet:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 3 \\ -4 & -2 & -3 \end{pmatrix}$

Da ich die Jordanform nicht kenne, habe ich nach freakC++ mal die Eigenwerte berechnet (0,1,-1). Daraus kann ich dann die Eigenwerte bestimmen. Aber hilft mir das weiter?

Bashar

umdrehen schrieb:

Da ich die Jordanform nicht kenne, habe ich nach freakC++ mal die Eigenwerte berechnet (0,1,-1). Daraus kann ich dann die Eigenwerte bestimmen. Aber hilft mir das weiter?

Diagonalisiere die Matrix.

Mario Sandler

Wenn ich das richtig sehe gilt $A^{3} = A$ . Da 123 mod 3 = 0.
Ist $A^{123} \cdot v = A \cdot v$ .

@Bashar: Die Diagonalmatrix hat auf der Diagonalen ihre Eigenwerte. Also müsste sie so aussehen.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Kann man da jetzt irgendwie ablesen, was A^123 ist?

@Mario Sandler: Das ist ja super :). Aber wie bist Du darauf gekommen? Auch mit der Diagonalmatrix?

SeppJ

edit: Hier stand großer Unsinn

Die Matrix ist doch hübsch singulär, damit hat das Gleichungssystem
Ax = 0 Lösungen mit x!=0. Davon sucht man sich einen aus, und multipliziert ganz oft A mit dem Nullvektor....

Wenn so eine Matrix mal nicht singulär ist, muss man freakC++ fragen. Der weiß, was Eigenwerte sind. Aber dann muss man immer noch den Eigenwert hoch 123 nehmen. Anstregend, aber besser als 123 Matrix-Vektorprodukte. Hier geht das auch, aber man kann sich einfach den Eigenwert 0 aussuchen. Das ist auch einfach.

Wenn man sich den Vektor nicht aussuchen kann, muss man anfangen zu Diagonalisieren, falls das geht. Dann muss man plötzlich alle Eigenwerte hoch 123 nehmen. Wenn das nicht geht, müssen Jordan-Matritzen her, was immer mühsamer wird.
Das ist mir hier beides zu kompliziert.

Oder man liest den Thread genau und sieht, dass Mario Sandler einen sehr feinen Tipp gibt. Der sieht genauso hübsch aus wie "Ax=0 lösen und 0en multiplizieren".

@umdrehen: Eigentlich ganz einfach, oder?

Mario Sandler

http://www.wolframalpha.com/input/?i=[[1%2C1%2C1]%2C[4%2C2%2C3]%2C[-4%2C-2%2C-3]]^3

SeppJ

Mario Sandler schrieb:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=[[1%2C1%2C1]%2C[4%2C2%2C3]%2C[-4%2C-2%2C-3]]^3

Ach, da habe ich einen dummen Fehler gemacht. Du hast natürlich recht. Der Fehler war so dumm, dass ich lieber mal meinen peinlichen Beitrag gelöscht habe.

freakC++

Hallo zusammen,

könnte man es nicht so machen (A sei die Matrix, x ein Eigenvektor, lambda ein Eigenwert)

$A \cdot x = \lambda \cdot x$

Ich habe das jetzt mal ausgerechnet. Die Eigenwerte lauten 0, 1 -,1 und die Eigenvektoren lauten analog dazu

$g:\vec{x} = t \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$

$h:\vec{x} = t \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$i:\vec{x} = t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Dann müsste nun folgendes funktionieren:

$A^{123} \cdot x = \lambda^{123} \cdot x = (-1)^{123} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

Dies ergäbe gerade $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Müsste stimmen, oder?

@Mario Sandler: Wie Du auf deine Lösung kommst, würde mich auch interessieren

LG, freakC++

Bashar

umdrehen schrieb:

@Bashar: Die Diagonalmatrix hat auf der Diagonalen ihre Eigenwerte. Also müsste sie so aussehen.

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Kann man da jetzt irgendwie ablesen, was A^123 ist?

Nö. Ich hab ja nicht gesagt, irgendeine Diagonalmatrix hinschreiben, sondern „Diagonalisieren.“ Das heißt eine Zerlegung $A = P^{-1} D P$ mit P invertierbar und D Diagonalmatrix (deren Diagonalelemente die Eigenwerte sind) bilden. Dann ist $A^{123} = P^{-1} D^{123} P$ , und das kann man dann einfach ausrechnen, da man einfach nur die Diagonalelemente jedes für sich potenzieren muss (was bei 0, 1 und -1 keine größeren Schwierigkeiten bereiten sollte.)

@Mario Sandler: Das ist ja super :). Aber wie bist Du darauf gekommen? Auch mit der Diagonalmatrix?

Einfach ausprobiert, würde ich sagen.

edit: Ich möchte nochmal dazusagen, dass ich die Formulierung für sehr unglücklich halte. Gemeint ist sicher, dass man es für beliebige v angeben soll. Nicht, dass man sich einen Eigenvektor aussuchen kann.

freakC++ schrieb:

$A \cdot x = \lambda \cdot x$

$A^{123} \cdot x = \lambda^{123} \cdot x$

Warum sollte das richtig sein?
Es gilt ja nicht A^{123} = L^{123}

Bashar

IstDasRichtig? schrieb:

freakC++ schrieb:

$A \cdot x = \lambda \cdot x$

$A^{123} \cdot x = \lambda^{123} \cdot x$

Warum sollte das richtig sein?

$A^{123}x = A^{122}(Ax) = A^{122}(\lambda x) = \lambda (A^{122}x) = \ldots = \lambda^{123} x$