4. abelsche Gruppe

abelsche Gruppe

  • F

    Hallo,

    ich möchte zeigen, dass eine Gruppe genau dann abelsch ist, wenn h∗g‾=h¯∗g¯\overline{h * g} = \bar h * \bar g gilt. Dies gilt für alle h,g∈(G,∗)h,g \in (G,*)

    Zwar kenne ich die Kriterien einer abelschen Gruppe, aber ich habe keine Idee zur Lösung dieser Aufgabe. Wo ist hier die Kommutativität versteckt und wie kann ich die "Negation" aufdröseln?

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • ?

    Zeige, dass (hg)^{-1} = g{-1}h{-1}, indem du (hg)g{-1}h{-1} berechnest.

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  • I

    Wichtig ist, dass du bei dem Beweis beide Richtungen beweist.

    Du willst also zeigen A abelsch⇔h∗g‾=h¯∗g¯\Leftrightarrow \overline{h * g} = \bar{h}* \bar{g}

    Beweis:
    (==>)
    Sei G Abelsch.
    Man weiss (sonst musst du dieses Korrollar noch beweisen - sollte nicht allzu schwer sein), dass h∗g‾=g¯∗h¯\overline{h * g} = \bar{g} * \bar{h} und da A abelsch ist, gilt g¯∗h¯=h¯∗g¯\bar{g} * \bar{h} = \bar{h} * \bar{g}, also gilt gesamthaft h∗g‾=h¯∗g¯\overline{h * g} = \bar{h} * \bar{g}
    (<==)
    Sei h∗g‾=h¯∗g¯\overline{h * g} = \bar{h} * \bar{g}
    Dann zeigen mit der Annahme oben, dass G Abelsch sein muss (das kannst du einmal alleine versuche).

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  • F

    Hallo zusammen,
    danke für eure Antworten. Ich habe mal ein wenig weitergemacht.

    icarus2 schrieb:

    Man weiss (sonst musst du dieses Korrollar noch beweisen - sollte nicht allzu schwer sein), dass h∗g‾=g¯∗h¯\overline{h * g} = \bar{g} * \bar{h}

    Nein, das wusste ich noch nicht, aber ich habe es bewiesen. Seht her 🙂
    h¯∗g¯=h¯∗g¯∗n=h¯∗g¯∗(g∗h)∗g∗h‾=h¯∗(g¯∗g)∗h∗g∗h‾=g∗h‾\bar h * \bar g = \bar h * \bar g * n = \bar h * \bar g * (g * h) * \overline{g * h} = \bar h * (\bar g * g) * h * \overline{g * h} = \overline{g * h}

    icarus2 schrieb:

    Dann zeigen mit der Annahme oben, dass G Abelsch sein muss (das kannst du einmal alleine versuche).

    Gut, das habe ich mal versucht. Herausgekomme ist das hier:

    h¯∗g¯=h¯∗g¯∗(h∗g)∗h∗g‾=h∗g‾\bar h * \bar g = \bar h * \bar g * (h * g) *\overline{h * g} = \overline{h * g}

    Nun gilt h¯∗g¯=h∗g‾\bar h * \bar g = \overline{h * g} und nach Vorraussetzung auch h¯∗g¯=g∗h‾\bar h * \bar g = \overline{g * h}. Also muss die Gruppe abelsch sein.

    1.) Ist mein zweiter Teil des Beweises richtig?

    2.) Ich habe noch eine andere Frage bezüglich der orthogonalen Gruppe O(n,R)={A∈Rn∗n:Aorthogonal}O(n, \mathbb R) = \{ A \in \mathbb R^{n * n} : A orthogonal \}. Ich soll prüfen, ob dies eine Untergruppe ist. Dazu wollte ich einfach die beiden Untergruppenkriterien anwenden, aber mir fehlt hier die Verknüpfung! Bin ich doof, aber normalweise ist doch die Schreibweise "G(Menge, *)". Welche Verknüpfung wird zwischen den orthogonalen Matrizen gewählt?

    Herzlichen Dank
    LG, freakC++

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  • ?

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  • F

    Ich schätze, deine ausführliche Antwort bezieht sich auf meinen zweiten Punkt? :D. Danke.

    Wie siehts mit dem ersten aus?

    LG, freakC++

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  • K

    1.) Ist mein zweiter Teil des Beweises richtig?

    Nein. Keine Ahnung, was du da rechnest, aber du hast schon die Voraussetzung: (h*g)' = h' * g' und sollst zeigen, dass die Gruppe abelsch ist, dabei verwendest du diese Eigenschaft schon.

    (h*g)' * n = (h*g)' * (g*h)*(g*h)' = ... = (g*h)' => a*b = b*a

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  • ?

    freakC++ schrieb:

    H
    2.) Ich habe noch eine andere Frage bezüglich der orthogonalen Gruppe O(n,R)={A∈Rn∗n:Aorthogonal}O(n, \mathbb R) = \{ A \in \mathbb R^{n * n} : A orthogonal \}. Ich soll prüfen, ob dies eine Untergruppe ist. Dazu wollte ich einfach die beiden Untergruppenkriterien anwenden, aber mir fehlt hier die Verknüpfung! Bin ich doof, aber normalweise ist doch die Schreibweise "G(Menge, *)". Welche Verknüpfung wird zwischen den orthogonalen Matrizen gewählt?

    Die Verknüpfung ist die Matrixmultiplikation.

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