4. Doppelreihe in Potenzreihe

Doppelreihe in Potenzreihe

  • J

    Hallo!

    Ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch, wie ich eine Reihe in eine Potenzreihe umformen kann. Konkret soll aus

    ∑k=0n(z−z2)k\sum_{k=0}^n (z-z^2)^k

    also am Ende sowas wie

    ∑k=0nakzk\sum_{k=0}^n a_k z^{k}

    werden.
    Da das ganze ja nach binomischen Lehrsatz aussieht, bekomme ich (hoffentlich) folgende Doppelreihe:

    ∑k=0n(z−z2)n=∑k=0n(∑l=0k(kl)zk−lz2l)=∑k=0n(∑l=0k(kl)zk+l)\sum_{k=0}^n (z-z^2)^n = \sum_{k=0}^n(\sum_{l=0}^k \binom{k}{l} z^{k-l} z^{2l}) = \sum_{k=0}^n(\sum_{l=0}^k \binom{k}{l} z^{k+l})

    Die sieht ja schon fast wie eine Potenzreihe aus. Kann ich nun die Doppelreihe

    ∑k=0n(∑l=0k(kl)zk+l)\sum_{k=0}^n(\sum_{l=0}^k \binom{k}{l} z^{k+l})

    irgendwie in eine Reihe zusammendonnern?

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  • W

    ∑k=0n(nk)zk(−z2)n−k=∑k=0n(nk)(−1)n−kz2n−k\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^k (-z^2)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} z^{2n - k}

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  • J

    Versteh ich leider nicht ganz. 😕
    ∑k=0n(nk)zk(−z2)n−k=(z−z2)n≠∑k=0n(z−z2)k\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^k (-z^2)^{n-k} = (z-z^2)^n \neq \sum_{k=0}^n (z-z^2)^k
    Und wo ist jetzt die zweite Summe gelandet?

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  • W

    Hm... ich sehe gerade, ich habe die eine Summe übersehen. Aber willst du jetzt die Summe aus deinem 2. Post am Ende (mit k im Exponent) oder aus deinem 1. Post am Anfang (mit n im Exponent)?

    EDIT: Ich nehme an, du hast dich im 1. Post verschrieben, sonst wäre die Lösung ja einfach:

    ∑k=0n(z−z2)n=n(z−z2)n\sum_{k=0}^n (z-z^2)^n = n (z-z^2)^n

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  • J

    Huch, ja hab ich. Wenn das n im Exponenten wäre, wäre das aber auch ein wenig sinnlose, ne? 🙂

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  • J

    Hm... das scheint ohne weiteres wohl nicht möglich zu sein. Mithilfe der Partialbruchzerlegung und der geometrischen Reihe habe ich nun einen anderen Weg gefunden, der statt in einer Doppelreihe immerhin in einer Summe von zwei Potenzreihen endet. Wie kann ich das in einer Potenzreihe darstellen?

    25+5(∑n=0∞(−21+5)nzn)−25−5(∑n=0∞(−21−5)nzn)\frac{2}{\sqrt{5}+5} (\sum_{n=0}^\infty (\frac{-2}{1+\sqrt{5}})^n z^n) - \frac{2}{\sqrt{5}-5} (\sum_{n=0}^\infty (\frac{-2}{1-\sqrt{5}})^n z^n)

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  • J

    Okay, ich hab das heilige Wolfram Alpha mal gefragt.
    Und das gibt mir als Lösung:

    ∑n=0∞zn(2−1−n(−(1−5)1+n+(1+5)1+n))5\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n (2^{-1-n} (-(1-\sqrt{5})^{1+n}+(1+\sqrt{5})^{1+n}))}{\sqrt{5}}

    Ich meine: what the f? Hat ja ein paar Sachen von meiner Lösung, aber wie kommt man darauf? 😕

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  • O

    bist du dir sicher, dass du dich nirgendwo verrechnet hast und alles korrekt in Wolfram eingegeben hast? Wenn ich nämlich deine Reihen ganz einfach zusammenfasse(ein paar mal kommutatativgesetz und Assoziativgesetz anwenden) komme ich auf fast das Selbe - nur, dass zähler und nenner vertauscht sind.

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  • J

    Ich hab's hingekriegt das umzuformen. Du hast dich sicher irgendwo vertan. Trotzdem danke!

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