4. 'unitäre' Matrix

'unitäre' Matrix

  • H

    Hallo,

    auf der Suche nach einer Methode, wie man eine unitäre Matrix generieren kann, bin ich auf ein Problem gestoßen. Ich weiß durchaus, wie es anders geht, habe allerdings keine Erklärung dafür, warum es wie folgt nicht geht. Weiß jemand warum?

    Startpunkt ist eine allgemeine komplexwertige 2x2 Matrix M:

    a1+ib1a2+ib2a3+ib3a4+ib4\begin{array}{rr} a_{1} + i \, b_{1} & a_{2} + i \, b_{2} \\ a_{3} + i \, b_{3} & a_{4} + i \, b_{4} \end{array}

    Es soll gelten: M\*M^H=k\*I

    k∈R,I:Einheitsmatrixk\in R, I: Einheitsmatrix

    wobei k=1 natürlich besonders attraktiv ist, aber eine beliebige Skalierung wäre auch OK. Ich betrachte im Foglenden k=1 und lasse es weg. Die linke Seite ausmultipliziert liefert:

    a12+a22+b12+b22a1a3−ia1b3+a2a4−ia2b4+ia3b1+ia4b2+b1b3+b2b4a1a3+ia1b3+a2a4+ia2b4−ia3b1−ia4b2+b1b3+b2b4a32+a42+b32+b42\begin{array}{rr} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} & a_{1} a_{3} - i \, a_{1} b_{3} + a_{2} a_{4} - i \, a_{2} b_{4} + i \, a_{3} b_{1} + i \, a_{4} b_{2} + b_{1} b_{3} + b_{2} b_{4} \\ a_{1} a_{3} + i \, a_{1} b_{3} + a_{2} a_{4} + i \, a_{2} b_{4} - i \, a_{3} b_{1} - i \, a_{4} b_{2} + b_{1} b_{3} + b_{2} b_{4} & a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2} \end{array}

    Für die Gleichungen auf der Hauptdiagonalen gilt gemäß der Bedingung: = 1
    und für die Gleichungen auf der Nebendiagonalen: = 0

    Bei genauerer Betrachtung ist der Realteil der Nebendiagonalen gleich und der Imaginärteil mit -1 multipliziert. Man hat also folgendes Gleichungssystem:

    a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} = 1 \\ a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4} + b_{1} b_{3} + b_{2} b_{4} = 0 \\ \- i \, a_{1} b_{3} - i \, a_{2} b_{4} + i \, a_{3} b_{1} + i \, a_{4} b_{2} = 0 \\ a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2} = 1

    4 Gleichungen, 8 Unbekannte. Ab jetzt sollte es doch wie in der Schule laufen, man könnte also bspw. die Variablen der ersten Gleichung "beliebig" wählen, so dass diese Gleichung erfüllt ist. Bleiben 4 Unbekannt und 3 Gleichungen übrig. Dann z.B. noch a3 festlegen und man könnte anschließend b3,a4,b4 in Abhängigkeit der anderen bestimmen.

    Sage (http://www.sagemath.org/eval.html?code=factor%282012%29) macht das für uns!
    Code:
    a1 = var('a1')
    a2 = var('a2')
    a3 = var('a3')
    a4 = var('a4')
    b1 = var('b1')
    b2 = var('b2')
    b3 = var('b3')
    b4 = var('b4')
    solve([ a1*a3+b1*b3+a2*a4+b2*b4==0, b1*a3-b3*a1+b2*a4-b4*a2==0, a32+b32+a42+b42==1], b3, a4,b4)

    Dummerweise funktioniert das nicht! Eine Matrix, bei der die oben genannten Einträge vorgegeben werden, und die restlichen Einträge entsprechend des Gleichungssystems berechnet werden, erfüllt leider nicht die Vorgabe.
    Weiß jemand warum?

    Gruß
    Markus

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  • K

    auf der Suche nach einer Methode, wie man eine unitäre Matrix generieren kann

    http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitentwicklungsoperator

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  • H

    knivil schrieb:

    http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitentwicklungsoperator

    Ich sehe in diesem Wiki-Artikel leider keine Erklärung für das von mir geschilderte Problem.

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  • K

    HMarkus schrieb:

    auf der Suche nach einer Methode, wie man eine unitäre Matrix generieren kann,

    Irgend eine zufällige?!

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  • H

    Ich sollte mich wohl etwas klarer ausdrücken. Also, wie man eine unitäre Matrix konstruieren kann, ist mir bekannt, z.B. ist der in der Nachrichtentechnik als Alamouti Code bekannt Ansatz die allgemeine Form eine unitären Matrix (bis auf einen Skalierungsfaktor).
    Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, warum der vorgeschlagene Ansatz eine solche Matrix zu finden, fehl schlägt.

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