Frage zur Integralrechnung

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Hallo,

Wir haben letzte Woche in der Schule mit der Integralrechnung angefangen und auch die Rechenregeln schon mal gelernt. Leider verstehe ich nicht, was _genau_ das "dx" in der folgenden Schreibweise zu bedeuten hat:
$\int \! a^x \ dx$
Das x bedeutet wohl, dass man irgendwie nach x integrieren soll, aber mein Lehrer meinte, er erklärt uns das erst später.

Grüße,
PI

Ich versuch's mal trivial zu formulieren ... dx ist ein infinitesimal kleines x.

Beim Integrieren näherst du den gesuchten Flächeninhalt zwischen deiner Kurve und der x-Achse an, indem du die Fläche in ganz viele Rechtecke zerlegst. Die Fläche eines Rechtecks kannst du bekanntlich einfach mittels "Grundseite mal Höhe" ausrechnen.

Die Grundseite jedes dieser Rechtecke ist ein kleiner Teil der x-Achse, nennen wir ihn Δx. Die Höhe des Rechtecks ist der jeweilige Funktionswert an der Stelle, in deinem Fall $a^x$ .

Wenn du dir jetzt vorstellst, dass du die gesuchte Fläche in immer mehr Rechtecke mit einer immer kleineren Grundseite Δx aufteilst, wirst du eine immer bessere Annäherung an den tatsächlichen Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse erhalten. Lässt du dann noch die Anzahl der Rechteckte gegen unendlich und Δx gegen 0 laufen, dann wird aus deiner Annäherung der exakte Flächeninhalt und Δx zum Differential dx.

$\int \! a^x \ dx$ sagt dir im Grunde: Nimm ein gegen unendlich kleines Stück von x (dx), multipliziere es mit dem Funktionswert an dieser Stelle ( $a^x * \ dx$ ) und summiere ( $\int$ ) alle diese gegen unendlich kleinen Teile auf.

Man kann aber auch auf diesen Voodoozauber ("infinitesimales kleine x") verzichten, und es einfach als Schreibweise betrachten.

Das Integralsymbol und das dx begrenzen den Integranden. das x in dx zeigt dir an nach welcher Variable integriert wird. Thats it.

Die Schreibweise ist manchmal sinnvoll beim Substituieren oder so. Aber meistens ist es einfach nur Grenzwertig, der obigen Betrachtungsweise zu folgen.

Klaus82

Hi Pi,

Allgemein kennst du ja eine Funktion f und kannst es mathematisch präzise z.B. so aufschreiben, dass die Funktion f jedem Wert aus den reellen Zahlen einen anderen Wert aus den reellen Zahlen zuordnet und zwar wie folgt:

\begin{align*} f : \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto f(x) = x^2 \end{align*}

In der Schule sagt man einfach kurz: "Gegeben sei die Funktion $f(x)=x^2$ ."

Wenn du möchtest könnte man hier eine analoge Schreibweise für eine Abbildung zwischen Funktionen einführen, denn das Integral bildet z.B. die Funktion $f(x)=x^2$ auf die Funktion $\frac{1}{3}x^3 + k$ (k eine Integrationskonstante) ab.

Damit suchst du nicht mehr eine Abbildung zwischen der Menge der reellen Zahlen, sondern zwischen Mengen von Funktionen (hört sich abgefahren an, ist aber so), nennen wir solch eine Menge einfach mal C.

Dann könnten wir jetzt schreiben

\begin{align*} \int\limits dx : C & \longrightarrow C \\ f & \longmapsto \int\limits dx[f] = \int\limits f dx \end{align*}

Solch eine Notation kennst du sogar schon vom ableiten, da hat man doch geschrieben.

\begin{align*} \frac{d}{dx} : C & \longrightarrow C \\ f & \longmapsto \frac{d}{dx}[f] = f' \end{align*}

Der Unterschied zwischen der Verwendung der runden und eckigen Klammer besteht darin, dass man i.d.R. einmal 'Zahlen' einsetzt und einmal 'Funktionen'.

Deine einfache Frage stößt die Tür auf zu spannender Mathematik.

Gruß,
Klaus.

dafuq_did_i_read schrieb:

Aber meistens ist es einfach nur Grenzwertig, der obigen Betrachtungsweise zu folgen.

Nö, wir reden hier ja von einem Schüler.

314159265358979

Danke für die Erklärungen, mir ist nun vieles klarer.

Und jetzt, wo Klaus die Integrationskonstante erwähnt hat, fällt mir ein, dass ich diese bei der heutigen Mathe-Schularbeit überall vergessen habe.

Das ist das Lebesgue-Maß.

ScottZhang

Helfer in der Not schrieb:

Das ist das Lebesgue-Maß.

Sehr hilfreich

Stell die vor du hast ne Treppenfunktion, also lauter klötzchen. Jedes Klötzchen
$i$ hat die Höhe $h_i$ und die seien mal alle gleich breit, und die breite bezeichnen wir mit $\Delta x$ .

Was iss dann die Fläche? Richtig
$\sum\_i h\_i \Delta x$
(Edit: hier sieht man eigentlich schon die ähnlichkeit der Notation)

Jetzt ist es so das man mit diesen Klötzchenfunktionen ziemlich viele "normale" Funktion beliebig genau approximieren kann, z.b. alle Stetigen. Man muss nur $\Delta x$ immer kleiner machen. Die Höhe $h_i$ ergibt sich aus den Funktionswerten.

Treibt man das immer weiter, also macht $\Delta x$ beliebig klein:
$\lim_{ \Delta x \rightarrow 0} \sum h_i \Delta x = I (h)$
sagt man am Ende das ist das Integral der Funktion $h$ .

Nun schreibt man für den Grenzfall nicht mehr $\Sigma$ für Summer sonder ein verschnörkeltes S ( $\int$ jaja steht für Summe) und aus dem $\Delta x$ wird halt $\text{d} x$ .

Bashar

Das soll jetzt hoffentlich keine Erklärung des Lebesgue-Maßes sein. So hat das ja schon Leibniz 150 Jahre vorher definiert, von dem auch die fragliche Schreibweise stammt.

ScottZhang

Jaja, macht man. Bringt nem Schüler die Maßtheorie bei

Integral über Regelfunktionen reicht ja wohl fürn Anfang.

Jockelx

Ihr redet aneinander vorbei.
Bashar hat deinen Beitrag wohl so gelesen:

"Stichwort Lebesgue-Maß ist nicht hilftreich, deshalb erkläre ich jetzt was das ist."

Du meintest aber:
"Lebesgue-Maß interessiert doch gerade wirklich keine Sau, deshalb erkläre ich Riemann-integrierbar nochmal".

Bashar

***

ScottZhang

Aber in meinem gesamten Beitrag steht nich einmal das Wort "Maß" oder "Lebesgue"!

Bashar

ScottZhang schrieb:

Aber in meinem gesamten Beitrag steht nich einmal das Wort "Maß" oder "Lebesgue"!

Doch, in dem Zitat. Du hast dich darauf bezogen.

ScottZhang

Hm, ja iss schon missverständlich.

Also ich wollte nicht das Lebesguemaß erklären, sondern nur ein bisschen Plausibiltät in die Notation bringen.