4. Lineare Bewegung + Rotation in der Ebene

Lineare Bewegung + Rotation in der Ebene

  • G

    Ein Objekt bewegt sich in der Ebene. Die Bewegung besteht aus zwei Komponenten. Das Objekt dreht sich um einen Mittelpunkt und es bewegt sich linear in eine Richtung.
    Nun habe ich zu einer Auswahl von Punkten im Objekt zum Zeitpunkt t0 die Koordinaten und Geschwindigkeitsvektoren der Punkte "gemessen". Wo sich diese Punkte im Objekt befinden weiß ich allerdings nicht.
    Wie kann ich jetzt daraus den Mittelpunkt, die Winkelgeschwindigkeit und den Geschwindigkeitsvektor der linearen Bewegung zum Zeitpunkt t0 berechnen?

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  • K

    Hi,

    Gruum schrieb:

    Ein Objekt bewegt sich in der Ebene. Die Bewegung besteht aus zwei Komponenten. Das Objekt dreht sich um einen Mittelpunkt und es bewegt sich linear in eine Richtung.

    Ich weiß nicht, ob ich die Beschreibung vollständig verstanden habe. Also du meinst ein Objekt rotiert um einen Mittelpunkt und der Mittelpunkt bewegt sich linear in eine Richtung?

    Dann könntest du die Bewegung des Mittelpunkts und des Objekts zerlegen. Wenn sich der Mittelpunkt mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt, dann würde da zunächst gelten:
    r⃗_m(t)=v⋅t⋅e^_x\vec{r}\_m (t) = v\cdot t \cdot \hat{e}\_x

    Wenn sich das Objekt mit konstantem Radius und Winkelgeschw. um den Mittelpunkt bewegt, dann könntest du das wie folgt darstellen in ebenen Polarkoordinaten:
    r⃗_o(t)=Rcos(ω⋅t)e^_x+Rsin(ω⋅t)e^y\vec{r}\_o (t) = R\cos(\omega\cdot t)\hat{e}\_x + R\sin(\omega\cdot t) \hat{e}_y

    Und am Ende müsstest du die Vektoren lediglich addieren
    r⃗(t)=r⃗_m+r⃗_o=(v⋅t+Rcos(ω⋅t))e^_x+Rsin(ω⋅t)e^_y\vec{r}(t) = \vec{r}\_m + \vec{r}\_o = \big(v\cdot t + R\cos(\omega\cdot t)\big)\,\hat{e}\_x + R\sin(\omega\cdot t) \hat{e}\_y

    Ich hoffe das hilft dir.

    Gruß,
    Klaus.

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  • G

    Ja, so etwa müsste die Bewegung aussehen. Aber ich wollte eigentlich die umgekehrte Berechnung durchführen.

    Ich versuch nochmal an einem Beispiel zu verdeutlichen was ich meine.
    Angenommen ein Auto bewegt sich mit v⃗\vec{v}. Das Objekt das mich interessiert ist ein Reifen des Autos. Der Mittelpunkt um den sich der Reifen dreht ist dort wo die Achse ist. Im Mittelpunkt bewegt sich der Reifen genau mit der Geschwindigkeit des Autos, also mit v⃗\vec{v}, das ist die Bewegung die ich mit linearer Bewegung meinte. An der unteren Seite bewegt sich der Reifen gar nicht, an der oberen Seite bewegt er sich mit 2v⃗2\vec{v}.
    Nun habe ich die Punkte (0,2) (Oberseite des Reifens, was ich aber nicht weiß) mit der zugehörigen Geschwindigkeit 2v⃗2\vec{v} und den Punkt (0,0) mit der zugehörigen Geschwindigkeit 0 und vielleicht noch ein paar mehr Punkte mit den zugehörigen Geschwindigkeiten. Nun dachte ich aus diesen Werten berechnen zu können wo sich die Achse befindet und mit welcher Geschwindigkeit sich das Auto bewegt.
    Im Moment bin ich allerdings davon überzeugt, dass das gar nicht eindeutig möglich ist, egal wie viele Punkte + Geschwindigkeiten man kennt. Ich vermute schon fast, dass man für jeden beliebigen Mittelpunkt passende Werte für v⃗\vec{v} und die Winkelgeschwindigkeit berechnen kann.

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  • K

    Hi,

    Gruum schrieb:

    Angenommen ein Auto bewegt sich mit v⃗\vec{v}. Das Objekt das mich interessiert ist ein Reifen des Autos. Der Mittelpunkt um den sich der Reifen dreht ist dort wo die Achse ist. Im Mittelpunkt bewegt sich der Reifen genau mit der Geschwindigkeit des Autos, also mit v⃗\vec{v}, das ist die Bewegung die ich mit linearer Bewegung meinte. An der unteren Seite bewegt sich der Reifen gar nicht, an der oberen Seite bewegt er sich mit 2v⃗2\vec{v}.

    Ich glaube ich verstehe was du meinst, doch denke ich, dass diese Sichtweise mit Vorsicht zu genießen ist. Zumindest hört es sich komisch an, dass ein Reifen an einer Stelle die Geschwindigkeit 2v hat und an der anderen 0.

    Allgemein muss der Reifen genau die Tangentialgeschwindigkeit haben, welche der Geschwindigkeit des Autos entspricht. Und die Tangentialgeschwindigkeit ist an allen Punkten des Reifens gleich (bei gleichem Radius). Das bedeutet wenn du die Geschw. des Autos kennst und den Radius des Reifens, dann kannst du die Winkelgeschw. berechnen.
    v=ω⋅Rv = \omega\cdot R

    Also wenn du so rechnest, dass der Reifen 'oben' die Geschw. 2v und unten 0 hat, dann kannst du die Geschw. gerade durch Mitteln erhalten.

    Und für den Mittelpunkt der Achse ... das hängt jetzt ganz entschieden davon ab wo du den Ursprung deines Koordinatensystems hinlegst.

    Gruß,
    Klaus.

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  • S

    Nun dachte ich aus diesen Werten berechnen zu können wo sich die Achse befindet und mit welcher Geschwindigkeit sich das Auto bewegt.
    Im Moment bin ich allerdings davon überzeugt, dass das gar nicht eindeutig möglich ist, egal wie viele Punkte + Geschwindigkeiten man kennt. Ich vermute schon fast, dass man für jeden beliebigen Mittelpunkt passende Werte für v und die Winkelgeschwindigkeit berechnen kann.

    Dass die Drehachse nicht eindeutig festgelegt ist stimmt. Man kann jeden beliebigen Punkt als Mittelpunkt der Drehung auffassen.
    Es gibt auch einen speziellen Punkt, den Momentanpol, bezüglich dessen die Bewegung eine reine Drehung ist.

    Die Winkelgeschwindigkeit hängt aber nicht vom Bezugspunkt ab und lässt sich bestimmen, wenn der Momentanpol bekannt ist.
    (Und den kann man mit zwei nicht-parallelen Geschwindigkeiten konstruieren/berechnen)

    Gruß,
    Stefan

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  • K

    Aber ich wollte eigentlich die umgekehrte Berechnung durchführen

    Nichtlineares Gleichungssystem mit deinen Messwerten aufstellen und loesen.

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  • Sind die Gleichungen nicht sogar linear?

    v_x(P)=v0_x+(A_y−P_y)∗ωv\_x(P) = v0\_x + (A\_y - P\_y) * \omega
    v_y(P)=v0_y+(P_x−A_x)∗ωv\_y(P) = v0\_y + (P\_x - A\_x) * \omega

    (v(P)v(P) = Geschwindigkeit in Punkt PP, v0v0 = Geschwindigkeit der Achse, AA = Position der Achse, ω\omega = Winkelgeschwindigkeit)

    ps: ich hatte Mathe das letzte mal in der Schule, k.A. ob die Schreibweise korrekt ist 🙂

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  • G

    hustbaer schrieb:

    Sind die Gleichungen nicht sogar linear?

    v_x(P)=v0_x+(A_y−P_y)∗ωv\_x(P) = v0\_x + (A\_y - P\_y) * \omega
    v_y(P)=v0_y+(P_x−A_x)∗ωv\_y(P) = v0\_y + (P\_x - A\_x) * \omega

    (v(P)v(P) = Geschwindigkeit in Punkt PP, v0v0 = Geschwindigkeit der Achse, AA = Position der Achse, ω\omega = Winkelgeschwindigkeit)

    ps: ich hatte Mathe das letzte mal in der Schule, k.A. ob die Schreibweise korrekt ist 🙂

    Wenn man ω\omega als Konstante ansieht dann ja. Aber da die Koeffizienten (1,ω\omega,−ω-\omega) für alle Punkte gleich sind, kann man das nicht eindeutig lösen.

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  • Na dann wird das wohl nicht lösbar sein.
    EDIT: also lösbar natürlich schon, aber es gibt halt viele viele mögliche Lösungen 🙂

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  • N

    Man könnte auch versuchen, die exakte Länge eines Sekundenzeigers auf diese Weise zu gewinnen, etwa indem man Schnappschüsse (kleiner Ausschnitt) von verschiedenen Stellungen macht.

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