Ableitung; mathematische Erklärung eines Sachverhalts

hi,
ich habe folgende Funktionen:

f(x) = a * x^2 + b * x + c

[a, b, c ≠ 0]

g(x) = f'(x)

h(x) = f(x) / x

Die zeichne ich schön in ein Plot ein und stelle dabei immer wieder fest, dass g(x) die Funktion h(x) in deren Minimum (bzw Maximum) schneidet.
Was ist die mathematische Erklärung dafür?

Bashar

Was genau meinst du mit Erklärung? Man kann beweisen, dass das so ist, indem man es einfach nachrechnet. Hast du sicher schon gemacht. Also?

ich habe es natürlich schon nachgerechnet und mein Ergebnis stimmt auch.
Mit Erklärung meinte ich eine Erklärung warum die Ableitung g einer Funktion f die Durchschnittsfunktion (von f) h, genau in deren Minimum/Maximum schneidet.
Ich meine das kann doch kein Zufall sein und es muss doch eine mathematische Erklärung dem zugrunde liegen, oder?

Ein Bsp dazu: Eine andere Funktion k(x) = a * x + c [a ≠ 0] schneidet auch IMMER die x-Achse. Die Erklärung dazu wäre, dass diese Funktion für alle Werte streng monoton steigen (bzw fallend für a<0) ist und somit zwangsläufig irgendwann immer die x-Achse schneiden wird.

Bashar

lolwonder schrieb:

Ein Bsp dazu: Eine andere Funktion k(x) = a * x + c [a ≠ 0] schneidet auch IMMER die x-Achse. Die Erklärung dazu wäre, dass diese Funktion für alle Werte streng monoton steigen (bzw fallend für a<0) ist und somit zwangsläufig irgendwann immer die x-Achse schneiden wird.

Das reicht erstens nicht aus. Gegenbeispiele: Exponentialfunktion, Arcuscotangens, oder auch $f(x) = \begin{cases}x+1&(x\geq 0)\\x-1&(x<0)\end{cases}$ .
Zweitens ist mir nicht klar, wieso das eine "Erklärung" sein soll (nachdem man es gefixt hat und fordert, dass die Funktion in einem Intervall [a,b] stetig und monoton ist und an beiden Enden unterschiedliche Vorzeichen hat ... dann kann man aber auch die Monotonie wegfallen lassen => Nullstellensatz von Bolzano). Man kann dann halt beweisen, dass die Funktion eine Nullstelle hat. Der Satz des Pythagoras hat m.W. über 200 echt unterschiedliche Beweise, welcher davon ist die Erklärung? Überhaupt einer?
Drittens, wie wär es mit: a ist ungleich 0, also kann man -c/a ausrechnen und für x einsetzen.

lolwonder schrieb:

g(x) = f'(x)
h(x) = f(x) / x
... stelle dabei immer wieder fest, dass g(x) die Funktion h(x) in deren Minimum (bzw Maximum) schneidet.
Was ist die mathematische Erklärung dafür?

h'(x)=f'(x)/x - f(x)/x^2 (Quotientenregel)

also im Fall x0<>0: 

h'(x0)=0 <=> x0*f'(x0)=f(x0) <=> f'(x0) = f(x0)/x0 <=> g(x0) = h(x0)

in den lokalen Extrema x0 von h' ist notwendig h'(x0)=0 und somit g(x0)=h(x0).

@bashar:
Ich habe mir ehrlich gesagt nicht so viel Gedanken beim Aufstellen meines Beispiels gemacht. Dachte es wird gleich klar, auf was ich hinaus will. (Allerdings hast du Recht; a, b, c ≠ 0 war nicht richtig. Es müsste a,b,c > 0 heißen).
Aber !rr!rr_. hat mir genau die Erklärung (bzw was ich unter Erklärung verstehe), die ich gesuchte.
Jedoch stellt sich mir nun eine neue Frage: h'(x) = [...] = f'(x) = f(x) / x
Das bedeutet, dass die Ableitung der Funktion h identisch zur Ableitung der Funktion von f ist. Aber wenn sie identisch ist, dann müsste doch h'(x) dort eine Nullstelle haben, wo das Extrema der Funktion h liegt - aber da h'(x) = f'(x), hat es gleichzeitig eine Nullstelle, wo das Extrema der Funktion f liegt...?

Bashar

lolwonder schrieb:

Aber !rr!rr_. hat mir genau die Erklärung (bzw was ich unter Erklärung verstehe), die ich gesuchte.

Nanu, ich hab dich doch gefragt, ob du nachgerechnet hast, was du bejaht hast! Und ich wollte !rr!rr_. schon anfahren, warum er das offensichtliche nochmal postet ...

Jedoch stellt sich mir nun eine neue Frage: h'(x) = [...] = f'(x) = f(x) / x
Das bedeutet, dass die Ableitung der Funktion h identisch zur Ableitung der Funktion von f ist.

Wo kommt das her? Ist das noch dasselbe Beispiel? Also h'(x) = f'(x) seh ich gar nicht. Bei den kritischen Stellen von h (d.h. h'(x)=0) gilt h(x) = f'(x), vielleicht meintest du das.

Hm, das liegt wohl an meinem schwammigen Verstnändnis des Begriffs "Erklärung".
Natürlich habe ich es nachgerechnet, allerdings hab ich es anders geschrieben (statt f(x) habe ich ax^2 + bx + c z.B. geschrieben, wodurch man dann natürlich nicht sofort die Zusammenhänge erkennt, die rr hier aufgezeigt hat).

Wenn ich es schreibe wie Bashar, dann komme ich zu folgenden Schritten:

1. Ausgangslage:
f(x) = ax^2 + bx + c
g(x) = f'(x) = 2ax + b
h(x) = f(x) / x = c/x + ax + b

2. Ermittlung von h'(x):
h'(x) = f'(x)/x - f(x)/x^2

3. Bestimmen der Extrema:
h'(x) = 0
=> f'(x)/x - f(x)/x^2 = 0
Auflösen nach f'(x): f'(x) = f(x)/x (Zuerst auf beiden Seiten (f(x)/x^2) addieren, dann beide Seiten mit (x) mulitplizieren)

4. Schlussfolgerung:
f'(x) = f(x)/x
=> f'(x) = h(x)

hmpf, ich muss gestehen, an der Stelle weiß ich selber nicht, wie ich zu dem Schluss h' = f' etc gekommen bin...

Aber ich habe definitiv was ich wollte - eine 'Erklärung' (auch wenn das für manche vllt nur ein simples 'nachrechnen' war) - thx guys!

er hat das Zauberwort "danke" gesagt