Frage zum Kartesischen Produkt

freakC++

Hallo zusammen,

ich habe eine Menge A und möchte gerne als Übung A³ bilden. $A = \{1,2,3\}$

Nun habe ich erst einmal A x A gebildet:

$A x A = B := \{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) \}$

Diese neu enstandene Menge nenne ich B. Um nun aber A x A x A zu bilden, kann ich aber auch B x A bilden. Das sollte äquivalent sein. Um A x A zu bilden, habe ich das erste Element der einen Menge genommen und jeweils einen Tupel mit jedem Element der anderen Menge gebildet. Wenn ich diese Strategie jedoch auch jetzt anwende, kommt es zu einem Fehler. Ich dachte, das Ergebnis lautet so:

$A x A x A = \{ ((1,1), 1), ((1,1), 2), ((1,1), 3)... \}$

Das stimmt aber nicht, denn es muss so heißen:

$A x A x A = \{ (1,1,1), (1,1,2), (1,1,3)... \}$

Aber warum? Warum enstehen jetzt plötzlich 3-Tupel? Eigentlich war die Vorgehensweise doch so, dass das erste Element der einen Menge (also hier ein ganzer 2-Tupel) mit jedem Element der zweiten Menge einen Tupel bildet. Danach nimmt man das zweite Element der ersten Menge etc.

Was stimmt hier nicht?

Vielen Dank
lg, freakC++

otze

Der offensichtliche Grund ist, dass du eine einfache Notation brauchst um die letzte Möglichkeit zu erzeugen.

Du kannst es dir so überlegen, dass das was von AxA zurückgegeben wird keine einfache Menge von Tupeln ist, sondern eine menge auf der das kartesische Produkt wieder anders definiert ist, nämlich so, dass die Tupel vergrößert werden.

Bashar

freakC++ schrieb:

Aber warum? Warum enstehen jetzt plötzlich 3-Tupel? Eigentlich war die Vorgehensweise doch so, dass das erste Element der einen Menge (also hier ein ganzer 2-Tupel) mit jedem Element der zweiten Menge einen Tupel bildet. Danach nimmt man das zweite Element der ersten Menge etc.

Was stimmt hier nicht?

Stimmt alles. Man leistet sich hier einfach eine Ungenauigkeit und schreibt ((a,b),c) als (a,b,c). Wenn man das nicht könnte, könnte man das kartesische Produkt nicht als assoziative Operation auffassen, also wäre $(A \times$ etwas anderes als $A \times (B \times C)$ und die Schreibweise $A^k$ gar nicht sinnvoll.

Wenn man das näher aufdröselt, findet man, dass das Objekte sind, die durch offensichtliche Isomorphien aufeinander abgebildet werden können. Man sagt dann einfach, dass man diese Objekte "identifiziert" und denkt nicht weiter drüber nach. Außerhalb von formaler Logik und Computern ist das in der Regel nicht wichtig.