4. Problem bei Grenzwertsätzen

Problem bei Grenzwertsätzen

  • F

    Hallo zusammen,

    ich habe ein Problem beim Verständnis der Grenzwertsätze. Bis jetzt dachte ich, dass folgendes gilt:

    Seien an,bna_{n}, b_{n} Reihen. Dann sollte gelten:

    limn→∞an⋅bn=limn→∞an⋅limn→∞bn\lim_{n \to \infty} {a_{n} \cdot b_{n}} = \lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot \lim_{n \to \infty} b_{n}

    und

    limn→∞anb_n=lim_n→∞anlimn→∞bn\lim_{n \to \infty} {\frac{a_{n}}{{b\_n}}} = \frac{\lim\_{n \to \infty} a_{n}}{\lim_{n \to \infty} b_{n}}

    Nun habe ich folgendes Beispiel:

    pn=1n21np_{n} = \frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}}
    qn=1n1n2q_{n} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}

    Die erste Folge konvergiert gegen 0, die zweite aber gegen unendlich. Warum? Weswegen greift hier der Grenzwertsatz nicht? Etwa, weil der Grenzwert des Nenners 0 ist? Wie kann ich den Grenzwert dieer beiden Folgen berechnen und wann kann ich die Grenzwerte aufteilen?

    Vielen Dank
    LG, freakC++

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  • Mod

    Wichtige Voraussetzung der Grenzwertsätze wie du sie hier schreibst (und auch vieler anderer Sätze zu Grenzwerten): Die Grenzwerte müssen existieren. Unendlich ist kein Element der reellen Zahlen. Ebenso ist für den Satz mit dem Teiler natürlich Voraussetzung, dass der Nenner nicht gegen 0 geht.

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  • ?

    Die Grenzwerte von p_n und q_n berechnest du durch Kürzen und scharfes hinsehen 🤡

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  • B

    Wäre auch ein schönes Beispiel um mal die Definition von Grenzwert durch zu exerzieren.

    Aufgabe:
    Beweise das pn den Grenzwert 0 hat und qn keinen Grenzwert hat, unter der Hilfe der folgenden Definition:

    Die Zahl aa heißt Grenzwert der Folge (an)(a_n), falls es für alle ε>0\varepsilon >0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass ∣an−a∣<ε\left|a_n-a \right|< \varepsilon, falls n≥Nn\geq N.

    Quelle http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Folge%29

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  • J

    Naja, das wären wohl eher Trivialbeispiele, wo sich der Beweis nicht mal lohnt. Die Schwierigkeit besteht ja eher darin, bei komplizierteren Folgen den Grenzwrt gut zu raten und gute Abschätzungen für ein N(ϵ)N(\epsilon) zu finden.

    Für die erste Folge z.B.:

    \mbox{Sei } \epsilon \mbox{ gegeben. Wähle } n > \frac{1}{\epsilon} \mbox{, sodass gilt: }\\ \left|\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}} \right| = \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} < \epsilon \Rightarrow n > N > \frac{1}{\epsilon}\\ \mbox{Also existiert zu jedem } \epsilon > 0 \mbox{ ein } N(\epsilon) \mbox{, sodass für alle } n > N(\epsilon) \mbox{gilt: } |p_n - 0| < \epsilon \\ \mbox{q.e.d.}

    Für die zweite Folge wird das sogar noch billiger.

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  • B

    Naja, das wären wohl eher Trivialbeispiele, wo sich der Beweis nicht mal lohnt.

    Ich habe hier im Mathe-Forum generell ein Problem die Mathematik-Kenntnisse des Fragenden abzuschätzen.

    Ich bin davon ausgegangen das der Fragende keine tieferen Kenntnisse von Grenzwerten hat, da er fragte warum eine Folge konvergiert, die Begriffe Reihe und Folge gemeinsam benutzt wurden und zu jeder Definition keine Nebenbedingungen beschrieben wurden.

    Und daher erscheint es mir sinnvoll einen Beweis zu empfehlen, so trivial er auch für manchen auch sein mag. Einfach zum Verständnis des Fragenden wegen.

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