Gebrochen rationale Funktionen(Asymptote)
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Hallo Leute, wollte mal etwas nachfragen und zwar:
Woran erkenne ich eine horizontale oder schiefe Asymptote?
Ich glaube mich erinnern zu können das es etwas mit dem Zähler und Nennergrad einer gebrochen rationalen Funktion zu tun hat, aber ich weis nciht mehr genau wie das da war
Hab zwar schon im Internet egsucht, aber überall steht was anderes. Hatten das Thema schonmal nur hab ich einfach vergessen wie man das erkennen kann
Viel dank für jede Antwort
-GhostafceChilla-
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Dich interessieren die betragsmäßig großen x (sprich: x geht gehen plus oder minus unendlich). Schau dir im Zähler- und im Nennerpolynom jeweils den Term mit der größten x-Potenz an. Diese Terme sind im Nenner und im Zähler jeweils viel größer als alle anderen, weil "große Zahl hoch irgendwas" zwar groß ist, aber "große Zahl hoch mehr als irgendwas" noch viel größer ist.
Wenn du im Zähler jeweils nur den Term mit der größten Potenz her nimmst und alle jeweils alle anderen wegschmeisst, hast du quasi schon deine Asymptote. Als erstes kürzt du erstmal fleissig.
Drei möglich Fälle:
- Falls im Zähler nur noch eine Konstante übrig ist, aber im Nenner noch eine Potenz von x übrig ist, geht die Funktion asymptotisch gegen Null.
Beispiel: (4*x^3 + 5*x^2 + 1) / (2*x^7 - 10)
Wir schmeissen fast alles weg und behalten (4*x^3) / (2*x^7)
Kürzen: 2 / x^4
Für ganz große x ist das fast 0.- Falls im Zähler was mit x übrig bleibt, aber im Nenner nur eine Konstante steht, geht die Funktion asymptotisch gegen plus oder minus unendlich.
Beispiel: (-x^3 - 2*x) / (3*x^2 + x - 3)
Fast alles wegschmeissen: (-x^3) / (3*x^2)
Kürzen: -1/3 * x
Die Asymptote ist eine Gerade- Falls im Zähler und im Nenner am Ende nur Konstanten stehen bleiben, geht die Funktion gegen diesen Konstanten Wert.
Beispiel: (8*x^2 - 3) / (2*x^2 + x - 100) geht im unendlichen gegen 8/2 = 4
Kannst du erkennen, was die Fälle 1)-3) mit Zählergrad und Nennergrad zu tun haben?
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Vielen dank
-GhostfaceChilla-