4. Wieso entsprechen die Ausdrücke einander?

Wieso entsprechen die Ausdrücke einander?

  • E

    Hi,

    ich habe eine Formel:
    1=c1+y+c(1+y)2+c(1+y)3+1(1+y)31=\frac{c}{1+y} + \frac{c}{(1+y)^2} + \frac{c}{(1+y)^3} + \frac{1}{(1+y)^3}
    c ist gegeben, ich suche y. y ist dann aber c. Wieso? Stichwort für ne Reihe oder ist das wieder irgendwas Triviales?

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  • K

    Man erhaelt nach dem Umstellen ein Polynom dritten grades. Also hinsetzen und ausrechnen! Probleme kann es bei y = -1 geben. Und wenn du schon weisst, dass c Nullstelle ist, dann reicht auch eine Polynomdivision mit (y - c) (Rest sollte 0 sein).

    Glueck verschenken, selber denken.

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  • Mod

    Reihe? Das sind doch nur 5 Terme, wo soll da eine Reihe herkommen?

    Alles auf einen Bruch bringen:
    1=3c+3cy+cy2+1(y+1)31=\frac{3c+3cy+cy^2+1}{(y+1)^3}
    Die 1 auf beiden Seiten abziehen:
    0=3c+3cy+cy2+1−1−3y−3y2−y3(y+1)3=(c−y)(3+3y+y2)(y+1)30=\frac{3c+3cy+cy^2+1-1-3y-3y^2-y^3}{(y+1)^3}=\frac{(c-y)(3+3y+y^2)}{(y+1)^3}
    Und so sieht man, dass c=yc = y eine Lösung ist. Die anderen beiden Lösungen sind die Lösungen von (3+3y+y2)=0(3+3y+y^2) = 0 und somit unabhängig von cc.

    P.S.: Das heißt natürlich im Klartext, dass die anderen beiden Lösungen y=−32+i32y = -\frac 32 + i \frac{\sqrt{3}}{2} und y=−32−i32y = -\frac 32 - i \frac{\sqrt{3}}{2}, falls man die komplexen Zahlen als Lösungsmenge nimmt. Auf den reellen Zahlen ist c=yc=y die einzige Lösung.

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  • E

    Mit Reihe meinte ich, dass man beliebig viele Summanden mit c/(1+y)^x hinzufügen kann, wobei der letzte Term eben immer 1/(1+y)^(letzter Summandenexponent) ist. Es kommt stets y=c heraus. Daher dachte ich auch, dass das Auflösen der einen Formel nichts ergibt und dass es einfach eine fertige Regel gibt, die das eben auflöst.

    Aber für alle höheren Polynome funktioniert Deine Lösung für c=y ja auch, SeppJ, daher hat sich meine Frage damit beantwortet. Vielen Dank 🙂

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  • Mod

    Eisflamme schrieb:

    Aber für alle höheren Polynome funktioniert Deine Lösung für c=y ja auch, SeppJ, daher hat sich meine Frage damit beantwortet. Vielen Dank 🙂

    Das wiederum hatte ich gar nicht gesehen. Hehe. Netter Effekt.

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