4. Abschätzung für log

Abschätzung für log

  • O

    Hi,

    ich suche gerade eine Abschätzung für log(1+f(x)∗y)\log(1+f(x)*y). In Analysis 1 habe ich bereits diverse lineare Abschätzungen gelernt, wie zum Beispiel \log(1+f(x)\*y)<=f(x)\*y
    Da ich eigentlich an einer Abschätzung für das Verhalten nach y interessiert bin, ist das erstmal okay, das Problem ist nur, dass ich bei einer bestimmten Anwendung an einer Stelle das Integral
    ∫x∈Rg(x)log(1+yf(x))dx\int\limits_{x \in \mathbb{R}}g(x)\log(1+yf(x))\; dx so nach oben abschätzen muss und diese Abschätzung auf gar keinen Fall divergieren darf. Das ist dann automatisch gegeben, wenn die Abschätzung des Terms nicht exponentiell wächst. Das Problem ist, das f(x) selbst exponentielles Wachstum zeigt. Das heißt eine polynomielle Abschätzung führt ins Nirgendwo.

    gibt es vielleicht noch eine Abschätzung für den logarithmus, bei dem ich am Ende einen Term wie log(f(x)) erhalte? Sie muss nicht eng sein oder gar sinnvoll berechenbar, nur nicht exponentiell wachsend und ich muss irgendwie das y aus dem Integral friemeln können.

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  • M

    ∫x∈Rg(x)log(1+yf(x))dx≤∫x∈R,yf(x)>1g(x)log(2yf(x))dx+∫x∈R,yf(x)≤1g(x)log(2)dx≤∫x∈Rg(x)(log(2y)+log(f(x)))dx+log(2)∫x∈Rg(x)dx\int\limits_{x \in \mathbb{R}}g(x)\log(1+yf(x))\; dx \leq \int\limits_{x \in \mathbb{R}, yf(x) > 1}g(x)\log(2yf(x))\; dx + \int\limits_{x \in \mathbb{R}, yf(x) \leq 1} g(x) \log(2)\; dx \leq \int\limits_{x \in \mathbb{R}}g(x)(\log(2y) + \log(f(x)))\; dx + \log(2)\int\limits_{x \in \mathbb{R}} g(x)\; dx.

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  • O

    oh wow. das ist echt das was ich brauchte. Ich muss das nochmal durchrechnen und schauen ob das alles klappt. Bislang sieht das aber echt gut aus.

    Vielen Dank.

    ps: willst du irgendwie genannt werden für die Abschätzung? Da hätte ich mir jetzt wahrscheinlich die Zähne dran ausgebissen, weil ich nie auf den Trick gekommen wäre

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  • M

    Ist schon alles ein bisschen her bei mir. Ich glaube, du musst noch sicherstellen, dass die Zerlegung der reellen Zahlen messbar ist, was aber in der Praxis kein Problem sein sollte.

    Du darfst diese Abschätzung gerne ohne Quelle benutzen 🙂

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  • O

    manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht:

    log(1+f(x)y)≤log((2+f(x))(1+y))≤log(2+f(x))+log(1+y)\log(1+f(x)y) \leq log((2+f(x))(1+y)) \leq log(2+f(x))+log(1+y)

    bzw für f > 0

    log(1+f(x)y)≤log((1+f(x))(1+y))≤log(1+f(x))+log(1+y)\log(1+f(x)y) \leq log((1+f(x))(1+y)) \leq log(1+f(x))+log(1+y)

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