Potenzreihe durch Funktion darstellen

freakC++

Hallo zusammen,

ich habe eine Potenzreihe gegeben, die nach dem Satz von Hadamard einen Konvergenzradius von 1 hat und somit auf dem Intervall (-1,1) durch eine Funktion beschrieben werden kann. Diese Funktion suche ich. Die Potenzreihe lautet:

$\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^n}$

Ich versuche diese Potenzreihe durch Umforumg auf eine bekannte Reihe zu bringen, dessen Reihenwert ich kenne. Das ist zum Beispiel bei der geometrischen Reihe der Fall. Außerdem versuche ich die Eigenschaft auszunutzen, dass ich unter dem Summenzeichen ableiten darf. Folgendes habe ich bereits versucht:

$\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{n(n-1)}{2} \cdot x^n} = \frac{1}{2} x \sum\limits_{n=1}^\infty {n(n-1) \cdot x^{n-1}} = \frac{1}{2} x \sum\limits_{n=1}^\infty {(n-1) \cdot n x^{n-1}} = \sum\limits_{n=1}^\infty {(n-1) \cdot (x^n)'}$

Jetzt habe ich auf der rechten Seite bereits die Ableitung der geometrischen Reihe stehen. Wäre da nicht dieses blöde $n-1$ , so wäre ich jetzt fertig.

Kann mir jemand sagen, ob

1.) mein Ansatz richtig ist
2.) falls 1.) zutrifft, wie der Faktor $n-1$ unter dem Summenzeichen behandelt werden muss?

Vielen Dank
LG, freakC++

freakC++

Hallo Leute,

mir ist noch eine Idee zur Lösung gekommen. Ich könnte ja $(n-1)(x^n)'$ zu $n(x^n)' - (x^n)'$ umformen. Wenn ich dann $(x^n)'$ wieder als $nx^{n-1}$ schreibe, komme ich auf folgenden Ausdruck:

$\frac{1}{2}x\sum\limits_{x=1}^\infty {n^2x^{n-1} - (x^n)'}$

Wenn ich jetzt aus $n^2x^{n-1} - x^n$ ein x wieder vor das Summenzeichen schreiben dürfte, so hätte ich gerade die zweite Ableitung dort stehen, was auch super wäre.

Problem: Ich darf nicht einfach ein x vor das Summenzeichen schreiben, weil ich das dann auch aus dem zweiten Summanden rausnehmen müsste und dann mein schönes $(x^n)'$ wieder zerstört würde.

Wie könnte ich dieses Problem noch lösen?

Ich danke euch

Bis bald
freakC++

Daniel E.

Also, hier meine Idee, ich würde erst mal zerlegen.

Sum(1/2 n (n-1) x^n)=1/2 Sum(n^2 x^n - n x^n)

Sum(n x^n)=Sum(n x x^(n-1))=x Sum(n x^(n-1))= x Sum((x^n)') = x (Sum(x^n))' = x (1/(1-x) -1)'=x/(1-x)^2

und

Sum(n^2 x^n)=Sum(n (n-1) x^n + n x^n)

Den zweiten Term davon hab ich ja eben schon vorgerechnet. Bleibt

Sum(n (n-1) x^n)

und da kannst Du auch wieder x^2 aus der Summe rausziehen ... dann ist das Spielchen genau das gleiche.

Dann die Terme wieder zusammenfieseln und hübsch unformen. Fertig.

Wenn du x²/2 direkt im ersten Schritt aus der Summe rausziehst hast du doch schon die 2. Ableitung der geometrischen Reihe da stehen. Danach ist es nicht mehr viel Arbeit. Hab ich zumindest mal grad durchgerechnet, sind 5 Zeilen.

(Und, Mathe I letztes Semester bestanden?)

freakC++

jokester_ schrieb:

Wenn du x²/2 direkt im ersten Schritt aus der Summe rausziehst hast du doch schon die 2. Ableitung der geometrischen Reihe da stehen. Danach ist es nicht mehr viel Arbeit. Hab ich zumindest mal grad durchgerechnet, sind 5 Zeilen.

Dann habe ich genau das da stehen: \frac{1}{2}x²\sum\limits_{n=1}^\infty {(n^2-n) \cdot x^{n-2}} . Das ist aber sicher nicht die zweite Ableitung

jokester_ schrieb:

(Und, Mathe I letztes Semester bestanden?)

jup, wie kommste darauf?

Daniel E. schrieb:

Also, hier meine Idee, ich würde erst mal zerlegen.

Sum(1/2 n (n-1) x^n)=1/2 Sum(n^2 x^n - n x^n)

Sum(n x^n)=Sum(n x x^(n-1))=x Sum(n x^(n-1))= x Sum((x^n)') = x (Sum(x^n))' = x (1/(1-x) -1)'=x/(1-x)^2

und

Sum(n^2 x^n)=Sum(n (n-1) x^n + n x^n)

Den zweiten Term davon hab ich ja eben schon vorgerechnet. Bleibt

Sum(n (n-1) x^n)

und da kannst Du auch wieder x^2 aus der Summe rausziehen ... dann ist das Spielchen genau das gleiche.

Dann die Terme wieder zusammenfieseln und hübsch unformen. Fertig.

Ist das nicht gerade die Idee, die ich in meinem zweiten Post gehabt habe, nur dass Du eben die Summe auseinader gezogen hast? Das sollte auch bei mir dann funktionieren, sodass das folgende dabei herauskommt:

$\frac{1}{2}x (x\sum\limits_{n=1}^\infty {(x^n)''} - \sum\limits_{n=1}^\infty {(x^n)'})$

Das müsste dann dasselbe wie bei dir sein, oder?

Danke euch beiden!!!

LG, freakC++

freakC++ schrieb:

Dann habe ich genau das da stehen: \frac{1}{2}x²\sum\limits_{n=1}^\infty {(n^2-n) \cdot x^{n-2}} . Das ist aber sicher nicht die zweite Ableitung

Leite x^n zweimal ab: (x^n)'' = (n*x^(n-1))' = (n-1)*n*x^(n-2) = (n²-n)*x^(n-2)
Also... doch?

jup, wie kommste darauf?

Nur so, du fragst ziemlich viel Kram der mir bekannt vorkommt.

freakC++

jokester_ schrieb:

freakC++ schrieb:

Dann habe ich genau das da stehen: \frac{1}{2}x²\sum\limits_{n=1}^\infty {(n^2-n) \cdot x^{n-2}} . Das ist aber sicher nicht die zweite Ableitung

Leite x^n zweimal ab: (x^n)'' = (n*x^(n-1))' = (n-1)*n*x^(n-2) = (n²-n)*x^(n-2)
Also... doch?

Ahh ja, stimmt Danke

jokester_ schrieb:

jup, wie kommste darauf?

Nur so, du fragst ziemlich viel Kram der mir bekannt vorkommt.

Vielleicht waren/sind wir auf derselben Uni? Schon mal dran gedacht?? Naja, sollte ja wohl nicht schlimm sein