Bestimmtes Integral gesucht

für m = n ist deine letzte umformung nicht gültig. Geh einen schritt zurück und überleg dir was wohl rauskommt.

Mario Sandler schrieb:

Das macht nichts. Setz mal explizit m=n ein. Dann siehst du dass der Term 1/(m-n) keine Rolle spielt. Auch dem Allgemeinen Ergebnis sieht man dies an, da für m=n, der zweite Term von der Form $\frac{0}{0}$ ist. Wenn man den Grenzübergang näher betrachtet sieht man, dass dies 0 ergibt.

Im letzten Term gibt es keinen Grenzübergang mehr.
Für m=n wird über die Nullfunktion integriert. Das ist alles.

Bashar schrieb:

~~Ja, deine Behauptung gilt nur für [tex]m\neq n[/tex] (und das ist auch gut so).~~

Da hab ich wohl mal wieder Mist geschrieben.

Ne das war richtig.

qwertzy123 schrieb:

Bashar schrieb:

~~Ja, deine Behauptung gilt nur für [tex]m\neq n[/tex] (und das ist auch gut so).~~

Da hab ich wohl mal wieder Mist geschrieben.

Ne das war richtig.

Ups, ich meinte natürlich die letzte Gleichung. Dass die für m!=n nicht mehr gilt. Nicht die ursprüngliche Behauptung. Verlesen, sorry

freakC++

Mario Sandler schrieb:

Das macht nichts. Setz mal explizit m=n ein.

Gut, das mache ich mal. m = n:
\left[{- \frac{1}{2(m^2)} \cdot cos(x(m^2)) + \frac{1}{2(0)} \cdot cos(x(0)) }\right]_{-\pi}^{\pi} = {- \frac{1}{2(m^2)} \cdot cos(x(m^2)) - \frac{1}{0} }

Das Ergebnis erfreut mich aber leider nicht, den jetzt teile ich durch 0. Der Ausdruck 0/0 kommt nicht zustande, wenn die Stammfunktion verwende.

qwertzy123 schrieb:

Bashar schrieb:

~~Ja, deine Behauptung gilt nur für [tex]m\neq n[/tex] (und das ist auch gut so).~~

Da hab ich wohl mal wieder Mist geschrieben.

Ne das war richtig.

Nein, war es nicht. In der Aufgabestellung stellt explizit, dass die Regel für alle $m, n \in \mathbb N$ gilt.

Namenloser324 schrieb:

für m = n ist deine letzte umformung nicht gültig. Geh einen schritt zurück und überleg dir was wohl rauskommt.

Heißt das, dass ich vielleicht gar nicht die Stammfunktion aufschreiben soll. Sol ich vielleicht hier stoppen:

$\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi \! \sin(x(m+n)) \, dx - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi \! \sin(x(m-n)) \, dx$

und hier jetzt argumentiern, dass zweimal das symmetrische Integral über einer ungeraden Funktion gebildet wird und daher 0 rauskommt?

Vielen Dank
LG, freakC++

Bashar

freakC++ schrieb:

Nein, war es nicht. In der Aufgabestellung stellt explizit, dass die Regel für alle $m, n \in \mathbb N$ gilt.

Ich hatte es mit $\int_{-\pi}^\pi \sin nx \sin mx dx$ verwechselt, was in der Tat genau dann ungleich 0 ist, wenn n=m.

Heißt das, dass ich vielleicht gar nicht die Stammfunktion aufschreiben soll. Sol ich vielleicht hier stoppen:

$\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi \! \sin(x(m+n)) \, dx - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi \! \sin(x(m-n)) \, dx$

und hier jetzt argumentiern, dass zweimal das symmetrische Integral über einer ungeraden Funktion gebildet wird und daher 0 rauskommt?

Nö, du sollst erkennen, dass der rechte Summand für n=m ein Integral über die konstanten Null-Funktion ist.

freakC++

Das bedeutet, dass ich am besten für alle Fälle die Stammfunktion bestimme und dann daran meinen Schluss ziehe. Beispiel:

Sei m = n. Dann ist der rechte Summand die Nullfunktion. Integriere ich die über die Grenzen ist das Ergebnis 0. Der linke Summand ist ebenfalls 0, da eine ungerade Funktion über ein symmetrisches Intervall integriere. Damit ist das ganze Integral 0.

Sei m !=n. usw.

Das heißt aber, dass ich die Stammfunktion an sich gar nicht brauche.

Danke und LG,
freakC++

Bashar

freakC++ schrieb:

Der linke Summand ist ebenfalls 0, da eine ungerade Funktion über ein symmetrisches Intervall integriere.

Hast du denn einen entsprechenden Satz zur Verfügung bzw. darfst du ihn verwenden?

freakC++

Ja, das habe ich bereits bewiesen.

Dann ist doch alles fein und du kannst es genau so machen wie du gesagt hast

Mario Sandler

freakC++ schrieb:

Mario Sandler schrieb:

Das macht nichts. Setz mal explizit m=n ein.

Gut, das mache ich mal. m = n:
\left[{- \frac{1}{2(m^2)} \cdot cos(x(m^2)) + \frac{1}{2(0)} \cdot cos(x(0)) }\right]_{-\pi}^{\pi} = {- \frac{1}{2(m^2)} \cdot cos(x(m^2)) - \frac{1}{0} }

Das Ergebnis erfreut mich aber leider nicht, den jetzt teile ich durch 0. Der Ausdruck 0/0 kommt nicht zustande, wenn die Stammfunktion verwende.

Das ist falsch. Du musst die Stammfunktion die du erhältst auch richtig auswerten, also obere Integralgrenze minus die untere! Dann erhält man 0/0.
Um das Problem zu lösen kannst du z.B. den cosinus in eine Taylorreihe um 0 entwickeln. Dann siehst du dass sich die Nullstelle im Nenner (im Fall m=n) herauskürzt.