Schnitt kompakter Mengen

[otze]

Hey,

Ich war in den letzten 2 Wochen faul und habe gerade Probleme wieder in den Stoff zu kommen. Kann vielleicht jemand drüber schauen und mir sagen, ob der Beweis so richtig ist?

Aufgabe:
Es sein $(E, \Vert \cdot \Vert)$ ein normierter Vektorraum und $(K\_n)\_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge nichtleerer kompakter Teilmengen in E mit $K_{n+1} \subset K_n$. Man zeige, dass $K:=\cap\_n^{\infty}K\_n \neq \emptyset$.
Fall 1: Falls ein n existiert, so dass $K_{n+p}=K_n$ für alle p, ist die Aussage erfüllt mit K=K_n.

Fall 2: Für alle n existiert ein p, so dass $K_{n+p}\neq K_n$
=> alle K_n besitzen unendlich viele Elemente.

K ist Kompakt, da $K_1$ bereits kompakt nach Annahme ist. Da E ein normierter Vektorraum ist, ist K Folgenkompakt und jede Folge in K besitzt einen Häufungspunkt in K.

Betrachte Folge $(x\_i)\_{i \in \mathbb{N}}$ mit $x\_i \in K\_i$. Da alle K_n Kompakt, besitzt die Teilfolge $(x\_i)\_{i > n}$ einen Häufungspunkt in K_n. Da dies für alle K_n gilt=> Häufungspunkt der Folge ist in K => K nicht leer.

Oder denke ich zu kompliziert?