Division durch 0 durch Paralleluniversum

[Alerz]

Hi.

Bitte nicht zu ernst nehmen das Thema. Eigentlich hatte ich mich für ein anderes Thema registriert, aber während ich schrieb, kam mir diese Idee hier und ich dachte mir, versuch ich mal mein Glück als Einstein der Moderne in die Geschichte einzugehen.

Wie ich hörte, sei die Division durch 0 nicht möglich und ein Rätsel der Mathematik. So ein ähnliches Problem hatte ich auch gerade in einer Software, die ich schreibe. Ich konnte das Problem umgehen, so dass die Software funktioniert. Nun dachte ich mir, wäre das vielleicht auch auf einer höheren Ebene möglich, auf universeller Ebene. Und so habe ich folgende Theorie.

In einem Paralleluniversum ist unsere 0 ihre 1. Unsere 0 ist unsere Nichtexistenz, wodurch sie die Existenz eines Paralleluniversums ist. Dadurch ist die 0 das Portal zu einem Paralleluniversum, dass um 1 varriert ist. Dadurch ist die Division durch 0 in jedem Universum mit Hilfe eines zweiten Universums möglich, wodurch ein überuniverselles System herrscht.

Dazu führe ich den neuen Vergleichsoperator namens Portalgleichheitszeichen === ein. Mit ihm kann man Zahlen zwischen den Paralleluniversen gleichsetzen.

0===1

1/0=1/1=1

Mit diesem Satz begründe ich, Alerz, die Parallelmathematik, eine neue mathematischen Disziplin.

So, nun dürft ihr mich feiern.

Und wie gesagt, bitte nicht zu ernst nehmen.

[Michael E.]

Alerz schrieb:

Wie ich hörte, sei die Division durch 0 nicht möglich und ein Rätsel der Mathematik.

Eigentlich nicht :p Mir juckts natürlich in den Fingern, was zum Rest zu schreiben, aber da wir das Thema nicht ernst nehmen sollen, feier ich dich einfach mal :schland:

[C++ Forumbot]

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[Gast]

Michael E. schrieb:

Alerz schrieb:

Wie ich hörte, sei die Division durch 0 nicht möglich und ein Rätsel der Mathematik.

Eigentlich nicht :p Mir juckts natürlich in den Fingern, was zum Rest zu schreiben, aber da wir das Thema nicht ernst nehmen sollen, feier ich dich einfach mal :schland:

Ach komm, sag was dazu. Du studierst doch Mathematik, oder?
Gauß hat ja soweit ich weiß kein Problem darin gesehen durch 0 zu teilen und auch zwischen verschieden große Unendliche unterschieden:
1/0 < 2/0

[dot]

Die Division durch Null ist nicht einfach nur nicht möglich oder ein ungelöstes Rätsel der Mathematik. Eine Division durch Null macht einfach rein logisch keinen Sinn. Mit einer Division durch Null stellst du effektiv die Frage, wie oft "nichts" in "etwas" enthalten ist. Anders betrachtet, wäre das Ergebnis einer Division durch Null die Lösung der Gleichung $a = 0 \cdot b$. Diese Gleichung führt für alle $a \neq 0$ von vornherein zu einem Widerspruch und ist ansonsten für jedes beliebige $b$ erfüllt. Es gibt also keinen sinnvollen Weg um das Ergebnis einer Division durch Null zu definieren. Das ist wie der Satz "Das Pferd ist vorne hinten als höher"...es ist nicht mysteriös, rätselhaft oder sonstwas, es ist einfach sinnlos...

[Jodocus]

Es macht keinen Sinn über Division durch Null nachzudenken, wenn man den Zahlenkörper undefiniert lässt.
Der Term $\frac{5}{2}$ mag in $\mathbb{N}$ undefiniert sein, nicht aber in $\mathbb{Q}$.
Mag sein, dass $\frac{1}{0}$ nicht sinnvoll in den Reelen Zahlen $\mathbb{R}$ definiert werden kann, in den Erweiterten Reelen Zahlen $\mathbb{\overline{R}}$ allerdings schon. Aus infinitsemaler Betrachtung ist deshalb die Defintion $\frac{n}{0} = \infty$ vernünftig.

@ Steffo: Gauß hatte ein begründetes Interesse daran, zwischen abzählbaren Mengen und überabzählbaren Mengen zu unterscheiden.

@ dot: Deine Argumentation mag phänomenologisch plausibel klingen, mathematisch ist sie aber nichtig. Wenn die Division durch "nichts" für dich unlogisch ist, wie kann dann eine Division durch "weniger als nichts" aka negative Zahlen logisch sein?

[Gast]

@Jodocus: Wiki hat mir auf die Spur geholfen.

$\frac{1}{0} = \infty$

$1 = \infty * 0$

Das führt natürlich zu einem Widerspruch, weil ich das gleiche Beispiel auch mit anderen Zahlen ungleich 1 machen könnte und 0 * unendlich zu verschiedenen Ergebnissen führen würde.

Aber halt, stop, was war mein Zwischenschritt? Nochmal von vorne:

$\frac{1}{0} = \infty$

$\frac{1}{0} * 0 = \infty * 0$

Ich hatte hier 0 auf der linken Seite einfach rausgekürzt aber ist 0 / 0 wirklich 1? Tatsächlich ist diese Operation ebenfalls undefiniert. Warum? Die Division ist hier definiert als "Wie oft muss ich 0 abziehen, um 0 zu erhalten?"
Antwort: Jede beliebige Anzahl von Operationen ist richtig:
0
0 - 0 = 0
0 - 0 - 0 = 0

etc.

Ist mathematisch also tatsächlich falsch.

[dot]

Jodocus schrieb:

@ dot: Deine Argumentation mag phänomenologisch plausibel klingen, mathematisch ist sie aber nichtig. Wenn die Division durch "nichts" für dich unlogisch ist, wie kann dann eine Division durch "weniger als nichts" aka negative Zahlen logisch sein?

Daher auch die darauf folgende, mathematischere Erklärung

[Jodocus]

> Ich hatte hier 0 auf der linken Seite einfach rausgekürzt aber ist 0 / 0 wirklich 1?

Definitionsfrage.

> Tatsächlich ist diese Operation ebenfalls undefiniert.

Dann darfst du aber nicht mit einem $\infty * 0$ argumentieren, dass ist dann nämlich auch undefiniert.
Oder du definierst, dass $\infty * 0 = \frac{0}{0} = 1$
Es bleibt dabei. Diese Division ist definiert. Es ist eine Frage des Zahlenraums. Wenn du dich damit nicht abfinden willst, besuche ein paar Vorlesungen Analysis 1.
Oder überzeuge dich hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl#Arithmetik

@ dot: Bei dir das gleiche Problem: Du lässt die Frage des Zahlenkörpers offen. In den erweiterten reelen Zahlen ist Division durch 0 definiert.

[Erhard Henkes]

Parallelmathematik, eine neue mathematischen Disziplin

Ja, wäre ganz gut für Politiker und Volkswirtschaftler. Da könnten sie gleichzeitig sparen, investieren und Schulden machen. Plan A === Plan B === Plan C.

[Michael E.]

Jodocus schrieb:

Du lässt die Frage des Zahlenkörpers offen.

Damit sind wir ganz schnell fertig: In jedem Körper hat das additiv neutrale Element (aka 0) kein multiplikativ Inverses (aka "Division nicht möglich"). Da hilfts auch nichts, wenn du die Abbildung partiell definierst. Du hast immer eine Lücke in deinen Definitionen.

[.filmor]

Sicher, dass das nicht nur in \operatorname{char} K > 2 zum Widerspruch führt? In $\mathbb{F}_2$ ist schließlich + = - und * = / …

[Michael E.]

.filmor schrieb:

Sicher, dass das nicht nur in \operatorname{char} K > 2 zum Widerspruch führt?

Der Widerspruch folgt direkt aus den Körperaxiomen: $0 \cdot 0^{-1} = 1$, weil 1 das neutrale Element der Multiplikation ist. Andererseits ist $0 \cdot x = 0 \;\forall x$, denn $0 \cdot x = (1-1)x = x - x = 0$. Also ist 0 = 1.

[Jodocus]

Michael E. schrieb:

Der Widerspruch folgt direkt aus den Körperaxiomen: $0 \cdot 0^{-1} = 1$

Nein, denn 0 ist nicht Element der abelschen Multiplikationsgruppe und somit ist $0 \cdot 0^{-1} \neq 1$. Deshalb legt man in den erweiterten reelen Zahlen mit $\frac{1}{0} = \infty$ das Produkt $0 \cdot 0^{-1} = 0 \cdot \infty$ als undefiniert fest.

[Michael E.]

Dass man immer über die Erstsemestersachen am längsten diskutieren muss...

Jodocus schrieb:

Die Körperaxiome treffen nur für alle Elemente des Körpers zu, aber $\pm\infty$ sind erst nachträglich hinzugefügt und somit nicht an diese Axiome, sondern an eigene Definitionen gebunden.

Du hast gesagt, dass man sich zuerst für einen Körper entscheiden müsse, um definieren zu können, ob man duch 0 teilen kann oder nicht. Wie bereits erläutert, ist das einfach falsch. Du kannst dir natürlich beliebige Mengen hernehmen und darauf willkürlich Operationen definieren, aber das hat dann mit einem Körper nichts mehr zu tun.

Für die erweiterten reelen Zahlen ist dein Gegenbeweis insofern nicht richtig, da man mit der Definition $\frac{1}{0} = \infty$ das Produkt $0 \cdot 0^{-1} = 0 \cdot \infty$ als undefiniert festlegt, und nicht 1.

Also kann man nicht durch 0 teilen, denn $0 \cdot 0^{-1}$ ist nichts anderes als $\frac 00$.

Sowieso ist 0 nicht Element der abelschen Gruppe, für die $0 \cdot 0^{-1} = 1$ gilt, das steht explizit in den Körperaxiomen.

Ach? Natürlich steht es so in den Axiomen, weil die Axiome sonst widersprüchlich wären. Muss ich das nächste Mal fett "Angenommen, man könnte in einem Körper durch 0 teilen" schreiben?

[Jodocus]

Also kann man nicht durch 0 teilen, denn $0 \cdot 0^{-1}$ ist nichts anderes als $\frac 00$.

Sorry, was ich sagte, war falsch. Der Ausdruck ist nicht undefiniert, sondern unbestimmt.
Deine Aussage gilt nur für 0 im Zähler. Es sind nun mal alle diese Ausdrücke $0 \cdot \infty = 0 \cdot 0^{-1} = \frac 00$ unbestimmt. Und nur weil $\frac 00 = 0 \cdot 0^{-1}$ gilt und dass diese Ausdrücke unbestimmt sind, heißt das noch lange nicht, dass $0^{-1}$ unbestimmt oder gar undefiniert ist, besonders weil $0 \cdot 0^{-1} \neq 1$ ist.
Du kannst null nicht durch null teilen (bzw. das Ergebnis könnte alles mögliche sein), wohl aber jede Zahl außer null.

Ach? Natürlich steht es so in den Axiomen, weil die Axiome sonst widersprüchlich wären.

Nein. Schau noch mal nach. Die Definition der abelschen Gruppe für Multiplikation schließt die 0 explizit aus. Du kannst damit nicht argumentieren.

Edit: Explizit auch hier nachlesbar: http://de.wikipedia.org/wiki/Unbestimmter_Ausdruck_(Mathematik)
Mit den oben genannten Einschränkungen ist eine Division durch 0 naheliegend und möglich.

Edit 2: Ich will ja garnicht sagen, dass eine Division durch 0 immer sinnvoll ist. In vielen Kontexten ist es einfach unpraktisch (z.B. Singularitäten in der Physik). Aber aus theoretischer Sicht gibt es sehrwohl eine sogar intuitiv einleuchtende Möglichkeit, eine solche Division zu definieren, nämlich über die formale Definition der erweiterten reelen Zahlen. Real ist eine solche Division u.U. problematisch, theoretisch aber machbar.

[Michael E.]

Du kannst das Problem nicht lösen, indem du ein ominöses neues Element hinzufügst und dann für manche Divisionen dieses neue Element das Ergebnis sein lässt. Ich kann z.B. auch hergehen und definieren, dass \begin{align*}\frac x0 =: \begin{cases}\Phi, \quad x = 5\\ \text{undefiniert}, \quad \text{sonst}\end{cases}\end{align*} ist. Soll ich jetzt behaupten, dass man durch 0 teilen kann, nur weil ich es für ein Element definiert habe? Wohl kaum. Aber nichts anderes machst du. Du wirst immer die Rechengesetze des Körpers verletzen oder Lücken in deinen Definitionen haben. In deinem Fall ist $\frac 00$ eine solche Lücke. Deshalb ist die Aussage "man kann durch 0 teilen" falsch, weil man die 0 selbst eben nicht durch 0 teilen kann.

Ach? Natürlich steht es so in den Axiomen, weil die Axiome sonst widersprüchlich wären.

Nein. Schau noch mal nach. Die Definition der abelschen Gruppe für Multiplikation schließt die 0 explizit aus. Du kannst damit nicht argumentieren.

Hier scheinst du mich wohl falsch verstanden zu haben. Natürlich steht es in den Axiomen so, wie du es beschrieben hast, nämlich dass 0 nicht zu (K,) gehört, weil man sonst einen Widerspruch hat. Aber die Aussage war ja, dass man durch 0 teilen kann, d.h. dass 0 zu (K,) gehört. Diese Annahme habe ich zum Widerspruch geführt.

[Jodocus]

> Du kannst das Problem nicht lösen, indem du ein ominöses neues Element hinzufügst und dann für manche Divisionen dieses neue Element das Ergebnis sein lässt.

Ich tue das nicht für manche Divisionen. Ich definiere es nur für eine einzige:
$0^{-1} = \infty$. Und das langt auch. Für jede andere Zahl ist schließlich $\frac{n}{0} = n \cdot \frac{1}{0} = n \cdot 0^{-1} = n \cdot \infty = \infty$. Es gibt eben nur Unbestimmte Restausdrücke wie $\frac{\infty}{\infty}, \frac 00$ etc.

Die Aussage, "Man kann keine Zahl durch Null teilen.", ist i.A. falsch, da man es, mit einer gewissen Einschränkung, wie oben erklärt, tun kann, wenn man eine solche Definition wählt.

Diese heiligen Körperaxiome sind auch nur willkürliche Definitionen, genauso willkürlich wie die Division-durch-Null-Geschichte. Aber sie sind nun mal vernünftig, und vergiss nicht, theoretisch.

Bzgl. der abelschen-Gruppen-Geschichte: Das heißt immernoch nicht, dass 0 jetzt auf einmal doch in der abelschen Gruppe liegt. Das steht auch nirgendwo. Aus $\frac{1}{0} = \infty$ folgt nicht $\infty \cdot 0 = 1$, da 0 nach wie vor nicht in dieser Gruppe liegt und es deshalb keinen Widerspruch gibt.
Es wird auch kein Körperaxiom gebrochen, da diese nicht für $\infty$ gelten.

Ach, und Lücken in der Defintion sind doch kein Problem. Man stopft eine, macht dafür ein paar andere dazu.

Edit: Hm, das führt so wohl zu nichts. Ich bin leider nur angehender Physiker und kein Mathematiker. Kann jemand anders noch einen Senf dazugeben?

Ich glaube, Michael will sagen, dass diese Division nicht mit den Körperaxiomen einhergeht. Tut sie auch nicht. Deshalb machst du ein paar Axiome dazu, um Lücken zu schließen. Und dieses Axiom $0^{-1} = \infty$ ist gar nicht so übel, da es intuitiv vernünftig ist.

[Michael E.]

Jodocus schrieb:

Ich tue das nicht für manche Divisionen. Ich definiere es nur für eine einzige

Erstens enthält der Ausdruck "manche" den Spezialfall "eine". Zweitens definierst du es für sehr viele Divisionen, nämlich für alle reellen Zahlen x außer 0 dividiert durch 0.

$0^{-1} = \infty$.

Hier hast du keine Division definiert, sondern ein inverses Element per Definition der Schreibweise "hoch -1". Damit drückst du $0 \cdot 0^{-1} = 1$ aus, was du doch gerade nicht haben willst.

Und das langt auch. Für jede andere Zahl ist schließlich $\frac{n}{0} = n \cdot \frac{1}{0} = n \cdot 0^{-1} = n \cdot \infty = \infty$. Es gibt eben nur Unbestimmte Restausdrücke wie $\frac{\infty}{\infty}, \frac 00$ etc.

Ich wiederhole mich: Du kannst deine Operationen nicht vollständig definieren, ohne Widersprüche zu erhalten. Ich kann mir auch eine Division durch 0 definieren: Nimm ein neues Element $\Phi$ zum Körper $K$ hinzu und definiere $\frac x0 = \Phi$ für alle $x \in K \cup \{\Phi\}$. Dafür lasse ich dann alle anderen Ausdrücke, in denen $\Phi$ vorkommt, "unbestimmt". Oder noch besser: Jeder Ausdruck, der $\Phi$ enthält, evaluiert zu $\Phi$. Würdest du jetzt sagen, dass man durch 0 teilen kann?

Die Aussage, "Man kann keine Zahl durch Null teilen."

Stand nie zur Debatte. Die Fragestellung ist, ob man durch 0 teilen kann. Wenn du zwischen diesen beiden Aussagen keinen Unterschied siehst, wie definierst du dann "teilen"?

Bzgl. der abelschen-Gruppen-Geschichte: Das heißt immernoch nicht, dass 0 jetzt auf einmal doch in der abelschen Gruppe liegt. Das steht auch nirgendwo. Aus $\frac{1}{0} = \infty$ folgt nicht $\infty \cdot 0 = 1$

Doch, denn $\frac 10 = 1 \cdot 0^{-1}$ per Definition der Division. Damit folgt $\frac 10 = \infty \Leftrightarrow 1 \cdot 0^{-1} = \infty \Leftrightarrow 1 \cdot (0^{-1} \cdot 0) = \infty \cdot 0 \Leftrightarrow 1 = \infty \cdot 0$.

da 0 nach wie vor nicht in dieser Gruppe liegt und es deshalb keinen Widerspruch gibt.

Nochmal: Die Notation "hoch -1" ist gerade dadurch definiert, dass $x \cdot x^{-1} = 1$ ist.

Es wird auch kein Körperaxiom gebrochen, da diese nicht für $\infty$ gelten.

Siehe Beispiel oben. Wenn ich Elemente hinzufüge, für die keine Gesetze gelten, kann ich trivialerweise alles machen.

Ach, und Lücken in der Defintion sind doch kein Problem. Man stopft eine, macht dafür ein paar andere dazu.

Nein, vorher gab es keine Lücke. Jetzt musst du dir mit "unbestimmten Ausdrücken" behelfen.

Ich bin leider nur angehender Physiker und kein Mathematiker.

Bin auch nur Nebenfächler, hab die einführenden Vorlesungen aber bei den Mathematikern gehört.

Und dieses Axiom $0^{-1} = \infty$ ist gar nicht so übel, da es intuitiv vernünftig ist.

Doch, es ist übel, weil dein Axiomensystem dann Widersprüche enthält.

[Jodocus]

Um Sachen klarzustellen:

Die Division zweier Zahlen ist die Multiplikation der einen mit dem inversen der anderen. Das inverse einer Zahl ist so definiert, dass das Produkt aus der Zahl und seiner Inversen ein neutrales Element (z.B. 1) ergibt.
Wir definieren jetzt unsere hübschen Körperaxiome. Leider können wir 0 nicht in die abelsche Multiplikationsgruppe aufnehmen, weil uns ein inverses fehlt (das ist für mich eindeutig eine Definitionslücke!).
Jetzt wollen wir versuchen, diese Lücke sinnvoll zu füllen. Aus infinitesemaler Betrachtung sehen wir, dass die Inversen großer Zahlen sehr nahe an 0 herankommen. Wir erfinden also ein Symbol $\infty$ für die größte aller Zahlen, dessen inverses vernünftigerweise $\infty^{-1} = 0$ ist. Aus folgt $(\infty^{-1})^{-1} = 0^{-1}$ folgt dann $0^{-1} = \infty$.
Jetzt stellt sich jedoch die Frage, inwiefern die Definition des Inversen hier Sinn ergibt, da schließlich $a \cdot a^{-1} = e$ die Definition des Inversen Elementes in einer Gruppe ohne 0 war. Nun haben wir 2 Argumentationsmöglichkeiten:

a) Da 0 nach wie vor nicht in dieser Gruppe liegt, kann $\infty \cdot \infty^{-1} = 1$ wegen $\infty^{-1} = 0$ und somit $\infty \cdot 0 = 1$ nicht als Definition herhalten.
Mit der Körpererweiterung müssen wir also auch die Definition des inversen verändern. Wie man das macht, spielt keine Rolle. Man kann z.B. das Inverse als eine bijektive Abbildung auffassen:
$( \cdot )^{-1} : \mathbb{\overline{R}} \rightarrow \mathbb{\overline{R}}$
$x \mapsto x^{-1} : x \cdot x^{-1} = 1$
$\infty \mapsto 0$
Diese Definition lässt nun die Frage offen und somit $\infty \cdot \infty^{-1}$ unbestimmt, da die neue Zuweisung willkürlich erscheint, aber augenscheinlich vernünftig ist (also ein Axiom). Jetzt können noch ein paar vernünftige Axiome zugefügt werden (alle sind auf Wikipedia, z.B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterte_reelle_Zahl zu sehen), da die üblichen Körperaxiome augenscheinlich nicht für $\infty$ gelten können.

**b)**Wir nehmen 0 in die abelsche Multiplikationsgruppe auf und erweitern um ein weiteres Axiom: $0 \cdot \infty = 1$.

Was haben wir gewonnen? Wir haben eine Definitionslücke entfernt, dafür aber in a) und b) einige neue Axiome in Kauf nehmen müssen.
Andererseits haben wir mit dem neuen $\infty$ nun auch Möglichkeiten, divergente Folgen als eine Art konvergente zu behandeln und andere Sachen.

Ich hab mir die Geschichte nicht selber ausgedacht, aber sie ist an jeder Stelle vernünftig und impliziert, dass mit einer neuen, vernünftigen Definition von "Invers" auch eine Division durch 0 möglich ist. Du kannst sie gerne Willkür nennen, andererseits ist sie mit Infinitesemalmathematik vernünftig. Nenne mir eine andere, willkürliche Definition von Invers, die intuitiv und/oder vernünftig erscheinen mag.