Mechanik: Pendel mit Feder

Ich versuche gerade, die Bewegungsgleichung für ein Fadenpendel mit eingebauter Feder herzuleiten. Ein Pendel wie hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Pendel
bloß mit einer (linearen) Feder, die in Richtung des Fadens ausgelenkt werden kann.

Die aktuelle Länge des Pendels ist dann
$l+\delta$
wobei l die Länge des Fadens ohne Auslenkung sein soll, und δ die Auslenkung der Feder.

Meine Überlegungen:
Kräfte in tangentialer Richtung ( analog zu http://en.wikipedia.org/wiki/Pendulum_(mathematics) )
Durch die Feder werden keine Kräfte in dieser Richtung verursacht.
$F_T = ma = -mg \sin\phi$
$a = \ddot{s} = \frac{\partial^2}{\partial t^2} (l+\delta)\phi = (l+\delta)\ddot{\phi} + 2\dot{\delta}\dot{\phi} + \ddot{\delta}\phi = -g \sin\phi$
Für kleine Winkel und kleine Auslenkung der Feder ergibt sich
$l \ddot{\phi} = -g \phi$

Für Kräfte in radialer Richtung habe ich
$F_R = m\ddot{\delta} = -k\delta - m g \cos \phi \approx -k\delta - m g$

Zusammen scheint es so, als wären (für kleine Winkel und kleine Auslenkungen) $\phi$ und $\delta$ unabhängig von einander.

Sind meine Überlegungen soweit korrekt, oder seht ihr einen Fehler? Mir ist Mechanik immer etwas unheimlich

Jodocus

Hm... Mir gefällt deine Näherung hier nicht:
$l \ddot{\phi} = -g \phi$
Damit gewinnst du m.M.n. keinen Blumentopf, da du jetzt wieder die gute alte Bewegungsgleichung für ein Pendel ohne Feder hast. Wenn du die Federauslenkung wegnäherst, solltest du IMHO nichts neues bekommen.
Ich würde für das Aufstellen der Bewegungsgleichung einfach mal von einem $l(t)$ ausgehen. Also ich fange wie immer an mit:
$-mg \sin \phi(t) = m\ddot{s}(t)$
$\ddot{s}(t) = \frac{d^{2}}{dt^{2}}l(t)\phi(t) = \frac{d}{dt}(\dot{l}(t)\phi(t) + l(t)\dot{\phi}(t)) = \ddot{l}(t)\phi(t) + 2\dot{l}(t)\dot{\phi}(t) + l(t)\ddot{\phi}(t)$
Näherst du für kleine Winkel $\phi \ll 1$ oder $\phi \approx 0$ , so erhalte ich $\sin \phi = \phi$ und $\ddot{l}(t)\phi(t) \approx 0$
Dann ergibt sich bei mir die Bewegungsgleichung:
$\ddot{\phi}(t) = \frac{g \phi(t) - 2\dot{l}(t)\dot{\phi}(t)}{l(t)}$

Edit: Diesem Ausdruck siehst du jetzt auch an, dass Auslenkung der Feder und Winkel gekoppelt sind, auch bei kleinen Winkeln.

Natürlich sind für das (korrekte) nichtlineare Problem beide Bewegungen gekoppelt. Aber für 'kleine' Bewegungen bleibt es bei der Entkopplung.
$\ddot{l}(t)\phi(t) \approx 0$ sagst du. Wenn man sowas annimmt, kann man mit gleichem recht $\dot{l}(t)\dot{\phi(t)}\approx 0$
annehmen, und dann bleibt keine Kopplung mehr über.

Bleibt nur noch, dass wir uns beide verrechnet haben (bei der Herleitung der Bewegungsgleichung für Φ), oder ein Rechen- oder Denkfehler von mir bei der Bewegungsgleichung für die Längung.

Überrascht nicht.
Für kleine Winkel ändert sich die Gewichtslast kaum, daher ändert sich auch die Auslenkungen der Feder kaum.

ich würd einfach den Lagrangeformalismus verwenden:

L = T-U
Die beiden generalisierten Koordinaten sind der Aufhängungspunkt des Pendels(Dehnung der Feder) und der Auslenkungswinkel.

Jodocus

Die Bewegungsgleichung per ELG zu basteln könnte aber echt umständlich werden. Die Lagrangefunktion sollte so aussehen:

$\mathcal{L} = \mathcal{T} - \mathcal{V}$
$\mathcal{T} = \frac12m\dot{s}^{2} = \frac12m(\frac{d}{dt}y(t)\phi(t))^{2}$
$\mathcal{V} = mgy(t)(1 - \cos{\phi(t)})$

Die beiden Bewegunggleichungen aus den ELG

$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} + \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\phi}} = 0$
$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} + \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}} = 0$
herzuleiten kann aber echt eklig werden. Besonders die totale Zeitableitung für die erste ELG. Und wenn für kleine Auslenkungen die Federschwingung vernachlässigbar ist, werden die ELG auch nichts anderes rausbekommen.

Natürlich kommt da nichts anderes heraus, nur ist es ein meines erachtens nach sichereres Vorgehen bei diesem Problem.
Aber in der Tat schreibaufwendig.

Dein Potential kann nicht stimmen. Für phi = 0, also cos(phi) = 1, ergibt sich ein konstantes Potential von Null, aber das nach unten hängende Pendel kann man natürlich trotzdem auslenken.

Jodocus

Stimmt, dann kommt für das Potential noch ein potentieller Energieterm dazu: $\mathcal{V} = mgy(t)(1 - \cos{\phi(t)}) + \frac12 Dy^{2}(t)$ , sofern D die Federkonstante ist.