Einfache Frage zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (stetige Verteilungen)

Angenommen die Zufallsvariable X besizte die Riemann-Dichte f(x) = x^2 .

Und es gibt noch eine zweite Zufallsvariable Y die definiert ist durch Y = X^-1 .

Wie wäre Y hier zu verstehen? Wie würde die Dichtefunktion für Y aussehen?

Grund: Ich habe eine Aufgabe mit f(x) = -12ax^3 + 12ax^2. Nun soll ich den Erwartungswert von Y berechnen. Wenn ich als Dichtefunktion für Y einfach 1/f(x) nehme kommt ein undefinierter Wert beim integrieren von 0 bis 1 raus (da man da beim integrieren den ln von 0 herausbekommt, welcher nicht definiert ist).

lustig

Es gilt, falls X eine Zufallsvariable mit Dichte F_X(x) und Y=g(X),
$E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_X(x)dx$ .

Das sollte dein Problem lösen.

lustig schrieb:

Es gilt, falls X eine Zufallsvariable mit Dichte F_X(x) und Y=g(X),
$E(Y)=E(g(X))=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f_X(x)dx$ .

Das sollte dein Problem lösen.

Leider nicht. Was wäre hier g(x)?

Mir scheint die Aufgabensctellung nicht vollständig zu sein. Zum ersten ist f(x) = x^2 KEINE Dichtefunktion. Das Integral von minus bis plus unendlich muss bei einer Dichtefunktion =1 sein. Das ist hier offensichtlich verletzt.

Zum Zweiten wenn Du eine Dichtefunktion f(x) = -12ax^3 + 12ax^2 vorgegeben hast, wäre es sinvoll vielleicht erst einmal das a auszurechnen, so das das Integral = 1 ist, falls dieses überhaupt existiert, was ich eher bezweifle. Dann würde auch hier KEINE Dichtefunktion vorliegen.

Die andere Möglichkeit wäre, dass deine Dichte Abschnittsweise definiert ist und du uns dieses einfach unterschlagen hast.

Nein, das x^2 war einfach aus dem Arsch als Beispiel gezogen .

und a ist in der tat 1. ursprünglich war da ein a und keine 12er, aber irgendwie habe ich die geistlich und händlich wieder dazugeschrieben.

hat jemand mittlerweile eine antwort auf meine frage?

Daniel E.

Ich würde vermuten, dass lustigs Formel stimmt, wobei g(x) in deinem Beispiel die Transformation von Y=g(X) sein dürfte. Aber zum selberrechnen, würde ich mit kumulativen Funktionen an die Sache rangehen. Wird allerdings potentiell länglich.

Sei
P(X < x) = Integral(-oo, x) f(xhut) dxhut
Y=g(X) (also hier x^-1)

Ok, dann ist
P(Y < y) = P({a aus X: g(a) < y})

Und das kennst jetzt alles. Du kannst mit Methoden der Analysis gucken, wo g(a)<y ist und dann kannst Du davon die Wahrscheinlichkeit bestimmen. Dann kannst Du diese kumulative Funktion wieder ableiten, Dichte bestimmen, Erwartungswert ausrechnen ...