Möglichkeiten

Guten Morgen,

ich habe eine Frage zu der Rechnung von Möglichkeiten. Wenn ich 100 Charaktere habe und jeweils immer nur 5 in einem Team sein können, welche Anzahl an Möglichkeiten gibt es da? Ich dachte an 100^5, somit also 10.000.000.000 Möglichkeiten an verschiedenen Teams. Stimm das?

Mfg

Michael E.

Es gibt $\binom{100}{5}$ Möglichkeiten, fünf aus 100 Leuten für das erste Team auszuwählen. Dann gibt es noch $\binom{95}{5}$ Möglichkeiten für das zweite Team usw. Also gibt es insgesamt \begin{align*}\prod_{k=0}^{19} \binom{100 - 5k}{5} = \prod_{k=0}^{19} \frac{(100 - 5k)!}{5! (100-5(k+1))!} = \frac{\prod_{k=1}^{20} (5k)!}{\prod_{k=0}^{19} 5!(5k)!} = \frac{100!}{(5!)^{20}}\end{align*} mögliche Teamaufteilungen.

Eine andere Betrachtungsmöglichkeit ist, dass du 20 Teamfarben zur Verfügung hast und je fünf Leute mit einer Farbe färbst, d.h. ununterscheidbar machst. Die Anzahl der möglichen Kombinationen gibt dir der Multinomialkoeffizient $\begin{align*}\binom{100}{\underbrace{5,5,\ldots,5}_{\text{ $20$ --mal}}} = \frac{100!}{(5!)^{20}}\end{align*}$.

Wow, ich dachte es wäre eine simple Rechnung. Hätte nicht gedacht das man daraus eine halbe Wissenschaft machen kann.
Wenn ich das ausrechne, komme ich auf ein Ergebnis von
2,4343259783553803003923515705992e+116
Kann das stimmen?
Also nur nochmal um klar zu stellen:
Sagen wir es gibt die 7 fiktiven Personen

Peter, Josef, Gustav, Theodor, Johannes, Olaf und Robert

Ein Team kann also aus

Peter, Josef, Gustav, Theodor und Johannes
Peter, Josef, Gustav, Theodor und Olaf
Peter, Josef, Gustav, Theodor und Robert

bestehen. Dann folglich

Olaf, Josef, Gustav, Theodor und Johannes,
Olaf, Josef, Gustav, Theodor und Robert,
usw...

Also wieviele Möglichkeiten es gibt, mit den einzelnen Leuten ein Team zu erstellen.

Ich hatte als Vorlage an das Dualsystem gedacht. Bei einer 4 stelligen Dualzahl, wobei eine Stelle immer nur 2 Zustände haben kann, gibt es 16 Möglichkeiten. Bei einer 5 stelligen Dualzahl dann 2^5 Möglichkeiten. Dann hab ich mir vorgestellt diese 100 Charaktere sind meine Zustände und das Team die 5 stellige "Zahl"

Team

[Platz 1] [Platz 2] [Platz 3] [Platz 4] [Platz 5]

Jeder Platz kann dann einen Charakter annehmen und dieser representiert sogesehen eine Zahl. Deswegen dachte ich an 100^5.

Jester

Ihr betrachtet leicht unterschiedliche Fragestellungen.

Du schaust Dir an, wieviele mögliche Teams es gibt. Allerdings mußt Du Dir überlegen, ob das Team "Josef, Gustav" nicht vielleicht dasselbe ist wie "Gustav, Josef". Bei Deiner aktuellen Zählweise unterscheidest Du Teams mit denselben Mitgliedern aber anderer Reihenfolge. Michael E. macht das nicht, indem er stattdessen den Binomial-Koeffizienten betrachtet.

Michael E. schaut aber ein anderes Problem an. Er fragt sich wieviele Möglichkeiten gibt es 100 Leute in 5er-Teams einzuteilen. Er schaut also nicht nur nach, wieviele Möglichkeiten es gibt ein einzelnes Team aufzustellen, sondern wieviele Möglichkeiten es gibt alle Leute auf Teams zu verteilen. Das sind natürlich noch viel mehr Möglichkeiten.

Bashar

Das ist nicht der einzige Unterschied. Bei der 100^5-Zählung wäre auch "Hans, Hans, Hans, Hans, Hans" ein Team.

@Op: Beantworte bitte folgende Fragen:

Spielt die Reihenfolge der Personen innerhalb eines Teams eine Rolle? Also ist es ein anderes Team, wenn die gleichen Leute drin sind, aber unterschiedliche Plätze belegen?
Kann eine Person mehrere Plätze belegen, so wie mein Beispiel oben? (Das ist nur der mathematischen Vollständigkeit halber, ich gehe davon aus, dass die Antwort nein ist)
Suchst die Anzahl der möglichen Teams oder die Anzahl der möglichen Aufteilungen in Teams?

Bashar schrieb:

Das ist nicht der einzige Unterschied. Bei der 100^5-Zählung wäre auch "Hans, Hans, Hans, Hans, Hans" ein Team.

Ah da hast du natürlich recht, das ist ein guter Punkt.

Bashar schrieb:

Spielt die Reihenfolge der Personen innerhalb eines Teams eine Rolle? Also ist es ein anderes Team, wenn die gleichen Leute drin sind, aber unterschiedliche Plätze belegen?

Nein, es bleibt das gleiche Team. Egal wie sie angeordnet sind, es geht nur darum, dass dieses individuelle Team einmal existiert.

Bashar schrieb:

Kann eine Person mehrere Plätze belegen, so wie mein Beispiel oben? (Das ist nur der mathematischen Vollständigkeit halber, ich gehe davon aus, dass die Antwort nein ist)

Nein, es darf ein Charakter nur einmal in einem Team vorkommen.

Bashar schrieb:

Suchst die Anzahl der möglichen Teams oder die Anzahl der möglichen Aufteilungen in Teams?

Die Anzahl an möglichen Teams.

Bashar

Dann sind es $\binom{100}{5}$ , also 75287520, wenn ich mich nicht verrechnet habe. http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient

edit: doch verrechnet.

Vielen Dank für eure Hilfe.