peinlicher ZEIT-Artikel
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Mathias1986 schrieb:
1. Warum nicht eine Regression? Warum nicht eine mit dem Polynom 15. Grades? Womöglich haben sie dort im Vergleich zu anderen Polynomen oder linearen Modellen super Ergebnisse im letzten u-förmigen Bereich erzielt. Die werden da schon einiges getestet haben
Polynome eines hohen Grades haben enorm viele Freiheitsgrade, so dass man sie natuerlich an alles moeglich anfitten kann und dann auch herauskriegt, dass der Fehler bezueglich der Daten, die man reingesteckt hat, sehr klein ist. Aber: Diese Polynome neigen dazu, wild hin und her zu oszillieren, so dass Du aus so einem Fit keine guten Vorhersagen bezueglich anderer Messungen ziehen kannst. Im Prinzip wird ja sogar gesagt, wie das ganze aussieht:
Die Kurve, die dieses Polynom 15. Grades beschreibt, sieht aus wie der Schwanz eines Drachen«, versucht Kromer die Sache plastisch zu machen, »eine Wellenlinie mit acht Bögen nach oben und sieben nach unten.«
Wenn man da eine "Wellenlinie" hat, dann heisst das, dass bei diesem Polynom der "durchschnittlichen Steigung" bestimmte Steigungen existieren, die die Wanderer besonders schnell machen und andere, die die Wanderer besonders langsam machen. Das heisst, im Prinzip kann es passieren, dass Wanderer bei einer groesseren Steigung wesentlich schneller sind. Du kannst Dir ja mal durch den Kopf gehen lassen, ob das Deinem generellen Verstanednis dieser Problematik entspricht.
Ok, letztendlich steht in dem Artikel ja auch, dass wohl nur ein einziger "Bogen" der Wellenlinie fuer die Wanderwege relevant ist. Man hat also vielleicht sogar Glueck gehabt und sieht dieses Verhalten nicht in dem Bereich, der gebraucht wird. Und vermutlich hat man auch das Glueck und sieht in diesem Bereich keine negativen Wanderzeiten. Aber: Ueberleg mal, welche Modellvorstellung man da reinsteckt. Das ist gar keine. Man fittet eine beliebige Kurve an einen Datensatz und versucht, daraus Vorhersagen fuer andere Messungen zu ziehen. Im allgemeinen funktioniert das nicht. In sinnvollen Vorhersagen steckt auch immer ein sinnvolles Modell. Wenn Du ein Polynom hoher Ordnung an irgendwelche Datenpunkte anfittest, wirst Du im Allgemeinen Overfitting kriegen. Das heisst, letztendlich fittest Du an Messfehler an, so dass Dir die Kurve, die rauskommt, am Schluss wesentlich besser vorkommt, als sie in Wirklichkeit ist. Sie wuerde einem Test an einem Kontrolldatensatz nicht standhalten.
Mir ist nicht bekannt, dass in irgendeiner Wissenschaft irgendwo ein Polynom 15. Grades benoetigt wird. In der Physik hat man es haeufiger mal mit Polynomen zu tun, weil man bestimmte Zusammenhaenge mittels Taylor-Entwicklungen vereinfacht, die man dann allerdings nach einem der ersten Terme abbricht. Da geht man maximal bis zur 3. Ordnung oder so, meistens nur bis zur 1. Ordnung.
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@Gregor: Vielen Dank für diese hervorragende Erklärung!!!
P.S. Was ein geiles Zitat, hatte ich noch nie gehört(klar) bzw. gelesen:
"The problem with quotes on the Internet is that it is hard to verify their authenticity" - Abraham Lincoln
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Hallo,
Zur Berechnung des Sättigungsdampfdruckes von Wasser nimmt man schonmal Polynome 6. oder 8. Grades.
siehe hier.
http://rams.atmos.colostate.edu/cotton/vita/71.pdf
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Ich sehe nirgends ein Polynom mit Grad 15. Oder sollte s_2 eigentlich s^2 sein?
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Mal als Nachtrag: Die Zeit hat's wohl selber bemerkt, dass der Artikel fachlich nicht so top ist:
http://www.zeit.de/2012/32/N-Wanderformel-Ziegler
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Gregor schrieb:
Mir ist nicht bekannt, dass in irgendeiner Wissenschaft irgendwo ein Polynom 15. Grades benoetigt wird.
x^15 - x - 1 für die Gruppe s15 in der Galoistheorie z.B.
überhaupt in der Zahlentheorie - Polynome von beliebig hohem Grad, natürlich auch 15, wo man nur hinschaut (x^15 - 1, zyklotomische Polynome), in der diskreten Mathematik (Rückführung von 5 Polynomen vom Grad 3 auf ein erfüllbarkeitsäquivalentes Polynom vom Grad 15),
in der Numerik: Eigenwerte von 15x15-Matrizen sind Nullstellen eines Polynoms det(A-t*Id) vom Grad 15, Determinante einer 15x15-Matrix usw um nur mal ein paar Beispiele zu nennen.
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buchstaben schrieb:
Galoistheorie...Zahlentheorie...
Mathematik um ihrer selbst willen ist keine "Wissenschaft", in dem Sinne wie Gregor das Wort benutzte. Polynome 15. Grades braucht man nirgends für die Beschreibung von "echten" Zusammenhängen, außer vielleicht zur Beschreibung eines an eine Tafel gezeichneten Polynoms 15. Grades.
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Dann sollte Gregor Naturwissenschaft schreiben
//edit und natürlich ist Mathematik um ihrer selbst Willen eine Wissenschaft. Die Physiker haben ja auch genug von den Ergebnissen profitiert.
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Die Aussage gilt auch für alle anderen Wissenschaften, nicht nur Naturwissenschaften. Eben nur nicht für die Zweige Mathematik die sich mit den Eigenschaften von Polynomen 15. Ordnung beschäftigen.
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@buchstaben: Ok, ein Polynom 15. Grades ist natuerlich ein mathematisches Objekt, das man betrachten kann. Wenn man sich aber von der Mathematik entfernt und einer Natur- oder Ingenieurwissenschaft oder einer beliebigen anderen Wissenschaft zuwendet, dann nutzt man die Mathematik dort zur Modellierung von bestimmten Sachverhalten. In dem Zusammenhang machen Polynome 15. Grades keinen Sinn. Das wollte ich mit meinem Beitrag ausdruecken.
buchstaben schrieb:
in der Numerik: Eigenwerte von 15x15-Matrizen sind Nullstellen eines Polynoms det(A-t*Id) vom Grad 15, Determinante einer 15x15-Matrix usw um nur mal ein paar Beispiele zu nennen.
DAS ist richtig und eigentlich auch ganz interessant. Eigenwerte und Eigenvektoren sind numerisch AFAIK etwas recht stabiles. Wenn man da ein bisschen an einem Wert innerhalb einer Matrix wackelt, dann wird einem das verziehen. Mit dem Verhalten eines Polynoms 15. Grades kann ich das nur schwer gedanklich unter einen Hut bringen. Sind die Nullstellen von derartigen Polynomen numerisch tatsaechlich auch derart stabil? Weiss das einer genauer? Naja, ich glaube, Matrizen dieser Groesse werden nicht mehr diagonalisiert, indem man das charakteristische Polynom aufstellt und dann damit rechnet. Da wird man andere Verfahren haben.
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Gregor schrieb:
Mit dem Verhalten eines Polynoms 15. Grades kann ich das nur schwer gedanklich unter einen Hut bringen. Sind die Nullstellen von derartigen Polynomen numerisch tatsaechlich auch derart stabil? Weiss das einer genauer?
Spekulation: Bei dem "Verhalten" von Polynomen 15. Grades denkst du vermutlich an die wilden Veränderungen die man beim Fitten von hochgradigen Polynomen an leicht veränderte Daten bekommt. Aber wenn man bei einem hochgradigen Polynom irgendwo einen Wert ein bisschen verändert, dann verändert sich die Form des Graphen auch nicht so stark.
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wie wär's mit dem Lennard-Jones-Potential in der Molekülphysik, ein Polynom vom Grad 12 bzw 6, wenn man berücksichtigt, daß der Term vom Grad 12 auch durch exp beschrieben werden kann
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Gregor schrieb:
Wenn man da ein bisschen an einem Wert innerhalb einer Matrix wackelt, dann wird einem das verziehen.
ja, wenn man an einem Matrizenelement wackelt und den Rest konstant läßt, ändert sich die det nur linear in der Änderung d
A' := A + d*E(ij) det A' = det A + (-1)^(i+j)*d*det A(ij)wobei E(ij) = delta_ij, A(ij) = (i,j)-Streichmatrix
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buchstaben schrieb:
wie wär's mit dem Lennard-Jones-Potential in der Molekülphysik, ein Polynom vom Grad 12 bzw 6, wenn man berücksichtigt, daß der Term vom Grad 12 auch durch exp beschrieben werden kann
Die 12er-Potenz ist beim Lennard-Jones-Potential ja mehr oder weniger beliebig. Man weiß, dass das Potential dort einen stark abstoßenden Anteil haben muss und nimmt dann r^-12, weil es mathematisch praktisch ist. Letztendlich steckt da aber auch nicht viel Modellierung drin. Du willst dort halt eine harte Wand haben. Deswegen kann man auch anstatt der 12. Potenz eine andere Potenz oder meinetwegen die Exponentialfunktion nehmen.
Das attraktive r^-6 Potential ist schon gerechtfertigter und ich glaube, es ist betragsmäßig ungefähr die höchste Potenz, die man in der Physik tatsächlich bekommt. Der Punkt ist hier, dass Van-der-Waals Kräfte bzw. London-Kräfte modelliert werden. Dort hat man es mit der Kraft zwischen temporären Dipolen zu tun. Das sind Effekte höherer Ordnung und so kommt dann auch eine entsprechend hohe Potenz zu Stande. Wenn Du Dir die Gesamtenergie eine Systems aus Molekülen ansiehst, dann spielt der Energiebeitrag durch die Van-der-Waals Wechselwirkung nur eine sehr kleine Rolle. Man betrachtet sie nur deshalb, weil Situationen entstehen können, in denen sich die größeren Terme, wie zum Beispiel die Coulomb-Kräfte, gegenseitig kompensieren, so dass der Van-der-Waals Beitrag in diesen Fällen tatsächlich die Physik bestimmt.
Der Punkt, den ich machen möchte ist, dass man diese r^-6 Abhängigkeit nicht betrachten würde, wenn es relevante Beiträge niedrigerer Ordnung geben würde. Man hat beim Lennard-Jones-Potential eben nicht 13 Koeffizienten, die es zu bestimmen gilt, sondern nur 2. Das Lennard-Jones-Potential hat damit nicht dieses oszillatorische Verhalten.
Abgesehen davon bin ich mir nicht wirklich sicher, wie viel Vorhersagekraft eigentlich im Lennard-Jones-Potential steckt. Letztendlich sind die beiden Konstanten, die man da hat, Materialparameter. Das heißt, Du kannst sie für ein Material bestimmen und dann hast Du für genau dieses Material ein Potential, das irgendwie passt. Für andere Materialien hast Du dann noch nichts. Weißt Du da genaueres?
