Ansätze zur Lösung eines mathematischen Problems

Sone

So Michael, bitte

Michael E.

Einen Zweizeiler wie dot kann ich zwar nicht liefern, aber trotzdem einen simplen, elementaren Beweis.

Notation: $(x,y,z) := 100x + 10y + z$ . Sei nun $(a\_2, a\_1, a\_0), (b\_2, b\_1, b\_0), (c\_2, c\_1, c_0)$ eine optimale Aufteilung der Ziffern. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gilt $a\_2 < b\_2 < c_2$ (sonst tausche die Zahlen). Alle folgenden Rechnungen basieren darauf, dass die Lösung optimal ist, d.h. das Produkt wird nicht kleiner, wenn man Ziffern vertauscht. Vertausche zuerst gleichwertige Ziffern:

\begin{align*} & (a\_2, a\_1, a\_0)(b\_2, b\_1, b\_0)(c\_2, c\_1, c\_0) &\leq (a\_2, b\_1, a\_0)(b\_2, a\_1, b\_0)(c\_2, c\_1, c\_0)\\ \Leftrightarrow & (a\_2, a\_1, a\_0)(b\_2, b\_1, b\_0) &\leq (a\_2, b\_1, a\_0)(b\_2, a\_1, b\_0)\\ \Leftrightarrow & (1000 b\_2 + 10 b\_0)a\_1 +(1000 a\_2 + 10 a\_0)b\_1 &\leq (1000 b\_2 + 10 b\_0)b\_1 +(1000 a\_2 + 10 a\_0)a\_1\\ \Leftrightarrow & \underbrace{(\underbrace{1000 b\_2 - 1000 a\_2}_{\geq 1000} + \underbrace{10 b\_0 - 10 a\_0}_{\leq 90})}_{> 0}(a\_1 - b\_1) &\leq 0\\ \Rightarrow & a\_1 < b\_1\end{align*}

Analog \begin{align*}(a\_2, a\_1, a\_0)(b\_2, b\_1, b\_0) \leq (a\_2, a\_1, b\_0)(b\_2, b\_1, a\_0) \Leftrightarrow (100 b\_2 - 100 a\_2+ 10 b\_1 - 10 a\_1)(a\_0 - b\_0) \leq 0 \Rightarrow a\_0 < b\_0\end{align*}
Also $a\_i < b\_i < c_i, \; i=1,2,3$ . Es fehlt aber noch eine Verbindung zwischen verschiedenen Wertigkeiten. Also nun verschiedenwertige Ziffern vertauschen:
\begin{align*}(c\_2, c\_1, c\_0)(a\_2, a\_1, a\_0) \leq (a\_1, c\_1, c\_0)(a\_2, c\_2, a\_0) \Leftrightarrow (10000 a\_2 + 100 a\_0 - 100 c\_1 - 10 c\_0)(c\_2 - a\_1) \leq 0 \Rightarrow c\_2 < a\_1\end{align*}
Und analog \begin{align*}(c\_2, c\_1, c\_0)(a\_2, a\_1, a\_0) \leq (c\_2, a\_0, c\_0)(a\_2, a\_1, c\_1) \Leftrightarrow (1000 a\_2 + 100 a\_1 - 100 c\_2 - c\_0)(c\_1 - a\_0) \leq 0 \Rightarrow c\_1 < a\_0\end{align*}. Nun ist also $a\_2 < b\_2 < c\_2 < a\_1 < b\_1 < c\_1 < a\_0 < b\_0 < c_0$ , d.h. alle Variablen sind eindeutig bestimmt.

Die ganzen Rechnungen lassen sich natürlich verallgemeinern und so zu einer einzigen Rechnung zusammenfassen, aber damit tut man sich denke ich keinen allzu großen Gefallen.

dot

Michael E. schrieb:

Einen Zweizeiler wie dot kann ich zwar nicht liefern, aber trotzdem einen simplen, elementaren Beweis.

Naja, ich war damals wohl etwas voreilig; mein "Zweizeiler" ist, denk ich, mathematisch nicht ganz so einwandfrei wie dein Beweis, aber hier:

Allgemeine Überlegung: Wir haben zwei Zahlen $a$ und $b$ und wollen eine der beiden Zahlen um $c > 0$ erhöhen, sodass das sich ergebende Produkt möglichst klein bleibt:

\begin{align} (a + c) \cdot b &\leq a \cdot (b + c) \\ \Leftrightarrow \; a b + b c &\leq a b + a c \\ \Leftrightarrow \; b &\leq a \end{align}

Es gilt also allgemein: Das Produkt bleibt minimal, wenn man den größeren der beiden Faktoren erhöht.

Nun dachte ich, dass daraus rekursiv die entsprechende Konstruktionsmethode für die Faktoren folgt, da bin ich mir mittlerweile aber nichtmehr so sicher...

Ist schon ca 5 1/2 Monate her, trotzdem poste ich meinen Ansatz in Worten (nicht in der mathematischen Ausdrucksweise).

1-ste kleinste Ziffer der ersten dreistell. Zahl: 1
-||- kleinste Ziffer der zweiten -||- Zahl: 2
-||- kleinste Ziffer der dritten -||- Zahl: 3

2-te kleinste Ziffer der ersten dreistell. Zahl: 4
-||- kleinste -||- der zweiten -||- Zahl: 5
-||- kleinste -||- der dritten -||- Zahl: 6

Und so für die 3-te Stelle auch.
Dann müsste man das richtige Ergebnis erhalten.