Seltsame Folge.

[Kellerautomat]

Hallo Leute,

Es sei folgende Reihe gegeben: $\sum\limits_{n=1}^i\frac{1}n$
i sei die Anzahl der Iterationen. Dabei ist mir nun aufgefallen, dass sich die Differenz der Ergebnisse jedes mal genauer an 2.302585... annaehert, wenn man die Anzahl der Iterationen ver-10-facht. Hier der Output eines Programms, das genau das berechnet.

i: 1 sum: 1
i: 10 sum: 2.9289682540 dif: 1.9289682540
i: 100 sum: 5.1873775176 dif: 2.2584092637
i: 1000 sum: 7.4854708606 dif: 2.2980933429
i: 10000 sum: 9.7876060360 dif: 2.3021351755
i: 100000 sum: 12.0901461299 dif: 2.3025400938
i: 1000000 sum: 14.3927267229 dif: 2.3025805930
i: 10000000 sum: 16.6953113659 dif: 2.3025846430

Gibt es hierfuer irgendeine Erklaerung?

Gruesse,
Der Kellerautomat

[Sone]

Das nennt man in Zukunft die Kellerautomat'sche Konstante.

Zufälligerweise (?) ist diese Zahl genau $ln 10$! Fällt dir was auf?

[Sone]

P.S.: Deine Summenformel ist übrigens falsch.
Man darf nicht durch Null Teilen

[Kellerautomat]

Gut, das ist immerhin schonmal ein Anfang. Ist 1/n differenziert nicht ln?

[Sone]

Kellerautomat schrieb:

Gut, das ist immerhin schonmal ein Anfang. Ist 1/n differenziert nicht ln?

Wie kommst du darauf? Wenn du nach n ableitest, dann ist $( n^{-1} )' = -n^{-2}$

[Kellerautomat]

Dann eben umgekehrt... Irgendwas war da. Und warum verhaelt sich das jetzt so?

[Sone]

Kellerautomat schrieb:

Dann eben umgekehrt... Irgendwas war da.

Du meinst, die Integralfunktion (Stammfunktion)? Die ist in der Tat
$\int \frac{1}{n} = log(x)$

Und warum verhaelt sich das jetzt so?

Schick am Besten Michael E. eine PM, aber ich denke natürlich auch nach.

[Bashar]

http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Asymptotische_Entwicklung

[Michael E.]

Sone schrieb:

Schick am Besten Michael E. eine PM, aber ich denke natürlich auch nach.

Ja huch? Bitte solche Empfehlungen unterlassen.

Die Lösung steht ja schon mehr oder weniger hier, aber ich erklärs nochmal etwas ausführlicher: Behauptung: $\sum_{i=1}^{10^{k+1}} \frac 1i - \sum_{i=1}^{10^k} \frac 1i$ konvergiert gegen ln(10). Beweis: Siehe Bashars Link: $H(n) \longrightarrow \gamma + \log(n)$. Als Begründung, wie hier überhaupt der Logarithmus als Stammfunktion von 1/i reinkommt, kann man sich z.B. www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/~jukna/BUCH/kap6c.pdf anschauen (erstbester Googletreffer mit diesem Diagramm). Also $\lim\left(\sum_{i=1}^{10^{k+1}} \frac 1i - \sum_{i=1}^{10^k} \frac 1i\right) = \lim\left(\log(10^{k+1}) - \log(10^k)\right) = \log\left(\frac{10^{k+1}}{10^k}\right) = \log(10)$. Hier wird ausgenutzt, dass die harmonische Reihe streng monoton wachsend ist, sonst müssten die Grenzwerte der Differenzen nicht gleich sein.

Edit: Die Beobachtung "harmonische Reihe ist streng monoton wachsend" ist sogar noch nicht einmal ausreichend. Hier tut man sich also einen Gefallen, wenn man das Ganze nicht im Grenzwert betrachtet.

[Sone]

Du verwechselst die ganze Zeit den natürlichen logarithmus (ln) mit dem zur Basis 10 ($log_{10}$, kurz log).

[Sone]

Und außerdem: Ist nicht die Notation für den Limes falsch? Da fehlt doch, gegen was k laufen soll, oder nicht?

[Michael E.]

Sone schrieb:

Du verwechselst die ganze Zeit den natürlichen logarithmus (ln) mit dem zur Basis 10 ($log_{10}$, kurz log).

Ist ja schön, wenn euer Lehrer euch das so beibringt, stimmt aber nicht. Die Basis von log ist nicht per se festgelegt, sondern kommt auf die Situation an. 2, 10 und e sind heiße Kandidaten für nicht angegebene Basen. Oft ist die Basis sogar egal. Es sollte klar sein, dass hier die Basis e gemeint ist.

Sone schrieb:

Und außerdem: Ist nicht die Notation für den Limes falsch? Da fehlt doch, gegen was k laufen soll, oder nicht?

Gegen unendlich. Auch diese Info wird öfter weggelassen, wenn man nicht gerade ein hochoffizielles Dokument verfasst.

[Sone]

Michael E. schrieb:

Sone schrieb:

Du verwechselst die ganze Zeit den natürlichen logarithmus (ln) mit dem zur Basis 10 ($log_{10}$, kurz log).

Ist ja schön, wenn euer Lehrer euch das so beibringt, stimmt aber nicht. Die Basis von log ist nicht per se festgelegt, sondern kommt auf die Situation an. 2, 10 und e sind heiße Kandidaten für nicht angegebene Basen. Oft ist die Basis sogar egal. Es sollte klar sein, dass hier die Basis e gemeint ist.

Hat er nicht, nur kenne ich keinen/kein Taschenrechner/Dokument, der/das mir je etwas anderes gesagt hat

Michael E. schrieb:

Sone schrieb:

Und außerdem: Ist nicht die Notation für den Limes falsch? Da fehlt doch, gegen was k laufen soll, oder nicht?

Gegen unendlich. Auch diese Info wird öfter weggelassen, wenn man nicht gerade ein hochoffizielles Dokument verfasst.

Klar. Stand halt nicht auf Wikipedia, und danach muss ich mich richten

[Michael E.]

Du willst Wikipedia? Bitte:

Das Zeichen \log ohne eine angegebene Basis wird verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt, wenn diese getrennt vereinbart wird, aus dem Zusammenhang ersichtlich ist oder aufgrund einer Konvention festgelegt ist. In technischen Anwendungen (so z. B. auf den meisten Taschenrechnern) steht \log oft für den dekadischen Logarithmus. In theoretischen Abhandlungen steht \log oft für den natürlichen Logarithmus.

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

[Sone]

Michael E. schrieb:

Du willst Wikipedia? Bitte:

Das Zeichen \log ohne eine angegebene Basis wird verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt, wenn diese getrennt vereinbart wird, aus dem Zusammenhang ersichtlich ist oder aufgrund einer Konvention festgelegt ist. In technischen Anwendungen (so z. B. auf den meisten Taschenrechnern) steht \log oft für den dekadischen Logarithmus. In theoretischen Abhandlungen steht \log oft für den natürlichen Logarithmus.

http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus

Thx. Und wer sagt mir, dass nicht du das editiert hast?

[tjo]

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