Krümmungsradius eines Vektorfeldes

[Phil270307]

Hallo,

ich habe eine Frage:

Gibt es einen Formalismus, mit dem man die Krümmungsradiien eines Vektorfeldes berechnen kann? Ich habe eine Strömungssimulation und kenne in einer (beliebigen) Ebene das stationäre Geschwindigkeitsfeld. Ich frage mich nun, ob es mit diesem möglich ist in jedem Punkt einen "lokalen" Krümmungsradius einer Stromlinie zu bestimmen?!?!
Für ein Feedback wäre ich sehr dankbar.

[knivil]

Kruemmung ist meist die 2te Ableitung.

[ScottZhang]

Die Summe der Hauptkrümmung $\kappa$ ist die Divergence der Normalen.
\kappa = \nabla \cdot {\bf n}

Solltest du Numerik machen hast du nur Stückweise linerae (meist) Ansätze. Da bietet sich der Laplace-Beltrami Operator ($\underline\Delta$) an; es gilt nämlich
\kappa{\bf n} = \underline\Delta id
(id - Identität)
Nun kann man das ganze in den variationellen Kontext bringen (wie üblich, partielle I., bla bla )
\int_\Gamma \kappa \varphi {\bf n} d \gamma = \int_\Gamma \underline\nabla id : \underline\nabla \varphi d \gamma \quad \forall \varphi \in C^\infty
Das verallgemeinert die Krümmung für stückweis lineare Ansätze.
(Naja nich ganz, das gilt eigentlich nur für $C^1$ Flächen, aber das ignorieren wir mal. Beachte aber das für lineare Ansätze $O(h)$ gilt).

Der unterstrichen Nabla-Operator ist nur die Oberflächenableitung. Kann man auch als Projektion des "normalen" Nabla auf die Fläche auffassen.

[Phil270307]

Hallo,

vorab, vielen Dank für die Rückmeldungen. Ich verstehe es aber noch nicht ganz.

1. Stimmt, die Krümmung ist meist die 2. Ableitung. Ich suche nun aber den Krümmungsradius einer Bahnlinie entlang derer sich ein Teilchen bewegt.

Ich betreibe in der Tat Numerik. Ich schneide durch eine Strömungssimulation bestimmte Ebenen, die recht dreidimensional sind. Geht man davon aus, dass sich ein Teilchen auf einer solchen Ebene bewegt (, was in den für mich interessanten Bereichen gilt), dann möchte ich mir dort gerne den Krümmungsradius der Bahnlinien angucken.

Generell kenne ich also die Geomtrie und das Geschwindigkeitsfeld $\vec{c} = (c\_x, c\_y, c_z)$
Wie sind denn die Normalen $\vec{n}$ definiert?

[ScottZhang]

$\vec{n}$ ist orthogonal zu $\vec{c}$. Da du inner Ebene bist, bleiben zwei Möglichkeiten.

Ne Kurve hat genau eine Hauptkrümmung $\kappa$. Der Krümmungsradius $r$ ist $r=1 / \kappa$.

Das einfachste wäre wohl erstmal, du schaust dir die Normalen an und bildest mit irgend einem finite Differenzen Verfahren die Divergenz