4. System von DGLs und Ruhelage

System von DGLs und Ruhelage

  • ?

    ok..anders gesagt: Alle Ableitungen müssen 0 sein. Damit sind dann auch die Satellpunkte mit drin :D. oder?

    Danke für die Hilfe!

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  • S

    Das ist vllt nen bissl verwirrend, du suchst schon ne Funktion f : [t_0,T] \to \mathbb{R}^2, f(t)=(x(t),y(t))f(t) = (x(t), y(t)) die deine DGL erfüllt. Und zwar derart das ddtf(t)≡0\frac{d}{d t} f(t) \equiv 0 (also für alle t). Folglich handelt es sich um eine konstante Funktion, also einem Punkt im Phasenraum

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  • K

    Nur weil die Ruhelage bestimmte Eigenschaften erfuellt, heisst das noch lange nicht, dass es Sinn macht von konstanter Funktion zu sprechen. Eine Nullstelle erfuellt zwar f(x)=0, aber die Loesungsmenge {x | f(x)=0} als Funktion zu bezeichnen, halte ich nicht fuer zielfuehrend. Genausowenig macht es Sinn, den Phasenraum ins Boot zu holen.

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  • S

    Das Problem ist, wir reden von DGL's, Lösungen von DGL's sind Funktionen (Trajektorien im Phasenraum, oder "Punkte" aus einer Menge von Funktionen). Wenn du von Punkt redest hast du den Phasenraum schon längst mit an Bord.

    Aber ich gebe dir recht, das sind Details die hier vllt zu weit führen.

    Ums nochmal zu verdeutlichen:
    {x∈C1(t0,T)∣f(x)=0}\{ x \in C^1(t_0,T) | f(x) = 0 \}
    damit ist ff sowas f:C1(t_0,T)→C0(t_0,T)f : C^1(t\_0,T) \to C^0(t\_0,T)
    Man muss schon angeben, wo die x-se herkommen 🙂

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  • ?

    Hi,

    bezüglich dieser Punkte habe ich auch noch eine Frage. Wie ich ja schon darauf verwiesen habt, sind solche Ruhelagen Punkte. Das bedeutet konkret, dass ich bei obigen DGLs drei konkrete Werte herausbekomme. Dazu sind mir jetzt drei Fragen gekommen:

    1.) Um eine Linerisierung um die Ruhelage durchzunehmen, weiß ich, dass ich eben die Punkte einfach mit der Jacobi-Matrix multiplizieren muss. Als Ergebnis habe ich eine schöne Matrix. Doch eigentlich ist mir gar nicht klar, was ich da mache. Warum setze ich die Punkte, bei denen alle ersten Ableitungen 0 sind, in die Jacobi-Matrix, also in alle ersten Ableitungen ein.

    2.) Was genau sagt mir diese Matrix, die herauskommt aus?

    3.) Wir reden von Punkten. Ich bekomme jedoch nur eine Stelle heraus. Ist die y-Koordinate stets 0 oder ist das nur hier der Fall?

    Vielen Dank

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  • S

    Die Allgemeine Form (autonom) einer DGL lautet:
    s˙=f(s)\dot{s} = f(s)
    Hier kann ss vektorwertig sein also s:(t0,T)→Rns : (t_0,T) \to \mathbb{R}^n
    In deinem Fall wäre s(t)=(x(t),y(t))s(t) = (x(t), y(t)) und die rechte Seite würde lauten f(s)=f(x,y)=(y,x−x3−ry)f(s) = f(x,y) = (y, x-x^3-ry)
    Jetze kommt die Taylor-Entrwicklung ins Spiel. Man weiss ja
    f(s\_0+s) = f(s\_0) + f'(s\_0)s + \frac12 f''(s\_0) s^2 + \dots
    also in erster Näherung
    f(s_0+s)=f(s_0)+f′(s0)sf(s\_0+s) = f(s\_0) + f'(s_0)s
    Und nu schau, es ist f(s0)=0f(s_0)=0 wenn s0s_0 ne Ruhelage ist, also ist
    f(s_0+s)=f′(s_0)sf(s\_0+s) = f'(s\_0)s
    und somit in erster Näherung
    s˙=f′(s0)s\dot{s} = f'(s_0)s
    Das ist ne lineare DGL ... juhu.

    Lokal verhält sich also dein ursprüngliche hässliche nichtlineare DGL wie ne schöne lineare DGL, das ist doch was. Nu kannste die ganze lineare Stabilitätstheorie wieder anwenden. Die Jakobimatrix f′(s)f'(s)verrät die genau die sachen die die Matrix bei jeder anderen linearen DGL auch verrät.

    Es dürfte drei Ruhelagen geben (x(t),y(t))=(0,0)(x(t), y(t)) = (0,0) und (x(t),y(t))=(±1,0)(x(t), y(t)) = (\pm 1,0). Ja das y(t)=0y(t)=0 ist nur hier so.

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  • ?

    Woow! Super! Du hast mich echt geholfen. Dank deiner Erklärung steig ich da endlich etwas mehr durch. Mir war nicht klar, dass sich das alles auf Taylorentwicklung stützt. Dadurch wird auch offensichtlich, warum man von einer Näherung spricht, weil die anderen Ableitungen gar nicht mehr beachtet werden.

    Nur sprichst von der Stabilitätstheorie. Wenn ich beispielsweise bei diesem System auf Stabilität prüfen wollte, dann müsste ich doch die Eigenwerte der Matrizen berechnen, die ich durch das Einsetzen der Ruhepunkte in die Jacobi-Matrix erhalte, oder?

    Herzlichen Dank noch einmal für deine Hilfe!

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  • S

    dlg3 schrieb:

    Nur sprichst von der Stabilitätstheorie. Wenn ich beispielsweise bei diesem System auf Stabilität prüfen wollte, dann müsste ich doch die Eigenwerte der Matrizen berechnen, die ich durch das Einsetzen der Ruhepunkte in die Jacobi-Matrix erhalte, oder?

    genau 😉

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  • ?

    Hallo Forum!

    Ich beschäftige mich gerade mit demselben Thema und habe dazu auch eine Frage. Wenn ich ein System von DGLs habe und die Ruhelage bestimmen will, so muss ich laut dieses Threads die erste Ableitung 0 setzen. Nun habe ich aber auch zweite Ableitungen dabei. Sind diese dann automatisch auch 0? Eigentlich doch schon, wenn bereits die erste 0 ist?!

    Danke schon mal

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    xxxxr schrieb:

    Hallo Forum!

    Ich beschäftige mich gerade mit demselben Thema und habe dazu auch eine Frage. Wenn ich ein System von DGLs habe und die Ruhelage bestimmen will, so muss ich laut dieses Threads die erste Ableitung 0 setzen. Nun habe ich aber auch zweite Ableitungen dabei. Sind diese dann automatisch auch 0? Eigentlich doch schon, wenn bereits die erste 0 ist?!

    Danke schon mal

    Hallo xxxxr,

    also ich stelle mir das mal bildlich vor:
    Die erste Ableitung nach der Zeit ist die Geschwindigkeit.
    Die zweite Ableitung nach der Zeit ist die Beschleunigung.

    Wenn also die Geschwindigkeit null ist, dann ist auch die Beschleunigung null.

    Das ist vielleicht eine etwas naive Sicht der Dinge, hilft mir aber die Ableitung einer Funktion einzuordnen.

    Viele Grüße.

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  • K

    Physikeinsteiger schrieb:

    Wenn also die Geschwindigkeit null ist, dann ist auch die Beschleunigung null.

    Wenn dem so waere, dann koennte sich ein in Ruhe befindlicher Koerper niemals bewegen. Ansonsten: http://de.wikipedia.org/wiki/Kritischer_Punkt_(Dynamik)

    Wenn ich ein System von DGLs habe und die Ruhelage bestimmen will, so muss ich laut dieses Threads die erste Ableitung 0 setzen.

    Ja

    Nun habe ich aber auch zweite Ableitungen dabei. Sind diese dann automatisch auch 0?

    So einfach ist es nicht, aber: Jede DGL hoeherer Ordnung laesst sich in ein System von DGLs erster Ordnung umformen. Ob das 0 setzen der zeiten Ableitung das gleiche ist wie das neue System von DGLs 0 zu setzen, kann ich jetzt nicht sagen. Gib doch mal ein Beispiel!

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  • ?

    Physikeinsteiger schrieb:

    Wenn also die Geschwindigkeit null ist, dann ist auch die Beschleunigung null.

    Das stimmt nicht: f(x)=x^2, dafür ist f'(0)=0 aber f''(0)=2

    Wenn die Beschleunigung immer null wäre, wenn die Gewschwindigkeit null ist, könnte ein Körper mit Anfangsgeschwindigkeit null ja nie beschleunigen.

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