Ist (N, <=) eine vollständige Halbordnung?

[Vertex]

Hallo,

wie kann man beweisen, dass (N, <=) (Menge der natürlichen Zahlen, Kleinergleich) KEINE vollständige Halbordnung ist?

1. (N, <=) ist eine Halbordnung, denn sie ist
i) Reflexiv, weil für alle a aus N gilt: a <= a
ii) Antisymmetrisch, weil für alle a, b aus N gilt: wenn a <= b UND b <= a dann a = b
iii) Transitiv, weil für alle a, b, c aus N gilt: wenn a <= b UND b <= c dann auch a <= c

2. Aber warum ist sie nicht vollständig (alle Ketten von N besitzen ein Supremum)?
i) Sind alle Teilmengen T von N Ketten von N? Ich kann kein Beispiel finden, für das nicht gilt: Für alle a, b aus T gilt: a <= b ODER b <= a. Mir fehlt leider dazu eine Beweisidee.
ii) Es gibt für jede Kette T von N eine obere Schranke, weil es in T doch auch immer ein größtes Element gibt? Daraus würde aber folgen, dass für alle T auch das Supremum existiert und daraus dann, dass (N, <=) eine VOLLSTÄNDIGE Halbordnung ist.

Danke schonmal im Voraus!

Ciao Olli

[Bashar]

Vertex schrieb:

1. (N, <=) ist eine Halbordnung

Jep.

2. Aber warum ist sie nicht vollständig (alle Ketten von N besitzen ein Supremum)?
i) Sind alle Teilmengen T von N Ketten von N?

Ja. Das spielt aber hier keine Rolle.

ii) Es gibt für jede Kette T von N eine obere Schranke, weil es in T doch auch immer ein größtes Element gibt?

Ist das so? Betrachte $T = \mathbb{N}$.

[Vertex]

Vielen Dank!

Betrachten wir jedoch (\N \union \{ \infinity \}, \leq), dann ist das eine vollständige Halbordnung, oder? Wenn eine Kette Unendlich beinhaltet, dann ist Unendlich auch das Supremum der Kette. Wenn die Kette gleich N ist, dann ist Unendlich ebenfalls das Supremum. Bei allen endlichen Ketten ist halt deren größtes Element das Supremum.

Ciao Olli

[Bashar]

Vertex schrieb:

Betrachten wir jedoch $(\mathbb{N} \cup \{ \infty \}, \leq)$, dann ist das eine vollständige Halbordnung, oder? Wenn eine Kette Unendlich beinhaltet, dann ist Unendlich auch das Supremum der Kette.

Du meinst, wenn die Kette unbeschränkt ist. Sie muss unendlich nicht unbedingt enthalten. Eigentlich müsste man noch beweisen dass jede unendliche Teilmenge von IN unbeschränkt ist.

PS: Ich hab den Latex-Code im Zitat mal korrigiert.